Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
На малых расстояниях от диполя эта формула верна и в тех случаях, когда дипольный момент р меняется во времени. Но на больших расстояниях г формула не может быть верной, так как на прохождение таких расстояний электромагнитному возмущению, распространяющемуся со скоростью V, требуется конечное время rlv, в течение которого дипольный момент р может заметно измениться. Конечная скорость распространения электромагнитных возмущений, очевидно, будет учтена, если в предыдущей формуле значение дипольного момента р брать не в момент наблюдения t, а в более ранний момент t' = t — rlv, когда произошло излучение сигнала, дошедшего от диполя Рис. 356.
до точки наблюдения. Однако выражение,
полученное таким путем, не будет удовлетворять уравнениям Максвелла. В самом деле, если вектор D меняется во времени, то это означает наличие тока смещения, пронизывающего контур окружности MN (рис. 356) и всякий другой контур, лежащий в плоскости этой окружности. Ток смещения возбудит магнитное поле с силовыми линиями, обвивающимися вокруг вектора р. Возникнет переменный магнитный поток через всякий контур, расположенный в меридиональной плоскости OPQ, а следовательно, и электрическое поле, лежащее в той же плоскости. Это поле в свою очередь даст ток смещения через всякую окружность, обвивающуюся вокруг оси вектора р. В результате этого возникнет добавочное магнитное поле. Последнее в свою очередь возбудит добавочное электрическое поле и т. д. Из соображений симметрии ясно, что вектор D полного поля будет лежать в меридиональных плоскостях, а силовые линии вектора Н будут иметь форму коаксиальных окружностей, центры которых лежат на оси вектора р.
4. Начнем с вычисления вектора D. На малых расстояниях от диполя выражение для D должно переходить в соответствующую формулу электростатики и, следовательно, убывать обратно пропорционально кубу расстояния г. К электростатическому выражению надо добавить слагаемые, зависящие от производных вектора р по времени и убывающие более медленно. Разложив все
630
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
слагаемые вдоль г и р, будем искать D в виде
где а, Ь, /, h — постоянные коэффициенты. Они безразмерны благодаря введению в знаменатели множителей v и v2. Члены нулевой и положительных степеней по г входить не могут, так как они не удовлетворяют условию на бесконечности, где электромагнитное поле должно обращаться в нуль. Точно так же не могут входить члены с более высокими отрицательными степенями по г, так как в противном случае не получилось бы предельное статическое поле при /¦-> 0. Предполагается, что значения р и его производных по времени берутся не в момент времени t, а в более ранний момент Ґ — t —¦ rlv. Этим учтено, что электромагнитное поле распространяется со скоростью v. Конечно, возможность представления D в форме, приведенной выше, еще не доказана этими рассуждениями. Доказательство получится лишь после того, как будет показано, что выражения для всех векторов электромагнитного поля удовлетворяют системе уравнений Максвелла. Это делается ниже.
Вычислив по формулам (141.5) дивергенцию D, получим
divZ) = -2(H-b)iM_(a + b-/ + A)i^--(/ + A)^ = 0.
Так как векторы р, р, р независимы, то коэффициенты этого выражения должны обращаться в нуль. Это приводит к соотношениям
Ъ = — 1, А = — /, й — 2/ = 1. (141.7)
Соотношение h = —/ показывает, что последний член в выражении (141.6) есть вектор, перпендикулярный к г, в чем легко убедиться, умножая этот вектор скалярно на г. Отсюда следует, что поток этого вектора через любой участок сферы с центром в начале координат равен нулю.
Для определения коэффициентов а и / установим сначала вид выражения для магнитного поля Н. Вычислим поток Фэ, вектора D через участок сферы, ограниченный окружностью MN (см. рис. 356). Для этого выражение (141.6) умножаем на единичный вектор г/г и интегрируем по поверхности указанного участка. Учитывая при этом соотношения (141.7), получим
Фэл = {~ + pj Л Sin2 0.
После этого поле Н найдется из уравнения
1
§ 14Ц
ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ ГЕРЦА
631
если в качестве контура интегрирования взятьту же окружностьЛ1ДГ. Эго дает
или в векторной форме
(>41.8)
Первое слагаемое здесь соответствует закону Био и Савара. Уравнение div Н — 0 удовлетворяется автоматически, поскольку магнитное поле аксиально симметрично, а силовые линии его являются окружностями с центрами, расположенными на оси диполя (см. §53). Однако коэффициент а все еще не определен. Для его определения и одновременно завершения всего доказательства надо воспользоваться последним уравнением Максвелла. Запишем его в виде
rot Z> = — ~ Н. (141.9)
Вычислив rot D с использованием формул (141.5), найдем
\ / vri v2r3 I yjy.2
С другой стороны, формула (141.8) с учетом соотношения с2 = еи.о3 дает
_ З1. //=_ IM _ \ъг\
с 0'VJ ‘2Vіг-
Путем сравнения с предыдущим выражением находим а = 3, f = 1. Эти значения удовлетворяют и последнему уравнению системы (141.7). Таким образом, все условия задачи удовлетворены, и поле диполя Герца можно представить в окончательном виде:
д Г 3 (рг) Р І і Г 3 (рг) р 1 , Г (рг) р 1
