Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим частное решение их, когда все величины зависят только от х и і. Переходя к координатной форме, получим в этом случае
(139.2)
дН2 і dDy дНу 1 д02
дх с dt ’ дх с Ж1
дЕи 1 дВ2 дЕг 1 дВу
дх с ~дГ ’ дх с dt
8t§ II dDK dt = 81* II дВх ~ dt = 0.
Из последних четырех уравнений следует, что Dx и Вх не зависят от х и і, т. е. величины постоянные. Это — статические поля.
§ 139]
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
621
накладывающиеся на переменное поле электромагнитного возмущения. Они не влияют на распространение возмущения и могут быть отброшены без ущерба для общности. Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две группы независимых уравнений. В одну из них входят у-составляющие электрического поля и z-co-ставляющие магнитного поля, в другую — z-составляющие электрического и «/-составляющие магнитного поля. Обе эти группы однотипны, а потому можно ограничиться рассмотрением одной из них. В качестве таковой возьмем систему уравнений, содержащую Еу и Нг. С помощью соотношений D — гЕ и В = ]хИ преобразуем ее к виду
дН _ е дЕ дЕ __ ц <3/7 о\
дх с dt ' дх с д!’ ' '
причем мы опустили у полей индексы у и г, предполагая, что вектор Е направлен параллельно оси Y, а вектор Н — параллельно оси Z. Дифференцируя первое уравнение по t, а второе по х, исключаем Н и находим
5 -Іж = °- <139-4>
Аналогично,
= (139.5)
где введено обозначение
V — C/]/ejA. (139.6)
Таким образом, векторы Е и Н удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению. Это доказывает, что рассматриваемое возмущение состоит из плоских волн, распространяющихся со скоростью v параллельно оси X. Возмущение поперечно, т. е. векторы Е и Н перпендикулярны к оси X, вдоль которой происходит распространение. Возьмем волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X:
E = f(x — vt), H — g{x — vt). (139.7)
Тогда дЕ/ді — —vf’, дНІдх = g', и после подстановки в первое уравнение (139.3) получится g' = y/'. Интегрируя это соотношение и опуская постоянные интегрирования (имеющие смысл
статических полей, не представляющих интереса в рассматриваемом вопросе), придем к соотношению g — ~f, или Я = уД
Аналогично поступаем со вторым уравнением (139.3). Таким
образом,
H = ~D, Е — В, (139.8)
622
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
или в векторной форме
|[vDl E=-±[vB], (139.9)
где v — вектор скорости, с которой распространяется электромагнитное возмущение.
Векторы Е, В, v (а также векторы D, Н, ®) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему. Взаимное расположение их показано на рис. 349, а. Это правовинтовое соотношение указанных векторов есть внутреннее свойство бегущей электромагнитной волны, не зависящее ни от какой координатной системы. Повернем на рис. 349, а тройку векторов Е, В, v вокруг оси X на 90°. Получится расположение, представленное на рис. 349, б.
Рис. 349.
Теперь электрический вектор будет направлен по оси Z, а магнитный — по оси Y. Такому расположению соответствует вторая группа уравнений, входящая в систему (139.2). Мы видим, что действительно нет необходимости в особом исследовании этой группы. Повернем, далее, тройку векторов Е, В, v на рис. 349, а вокруг оси Z на 180°. Получится расположение, приведенное на рис. 349,6, которому соответствует волна, распространяющаяся влево. Таким образом, нет необходимости особо рассматривать и эту волну.
2. Вид функции f (или g) в плоской бегущей электромагнитной волне зависит от начальных условий и может быть каким угодно. Особо важное значение имеют синусоидальные, или монохроматические, волны. Они могут быть представлены в виде
E = E0cos<i>{t-~y H^H0cos<i)(t-у), (139.10)
где Е0 и Н0 — постоянные, называемые амплитудами волны. Если ввести обозначение
k = a>lv, (139,11)
§ 1391
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
623
ТО
Е — Е0 cos (at — kx), //= Н0 cos (at — kx). (139.12)
Величина k называется волновым числом. Если фиксировать координату х, то получатся синусоидальные функции времени, описывающие гармонические колебания с круговой частотой со. Напротив, если фиксировать время t, то получится синусоидальное распределение поля Е, Н в пространстве в рассматриваемый момент
времени. Пространственный период поля Е, Н называется длиной еолны. Он равен
Я = ^ = ^ = (139.13)
k 0) V ' 1
Можно записать бегущую монохроматическую электромагнитную волну в векторной форме, не содержащей никаких координат. Для этого введем единичный вектор N нормали к фронту волны АВ, т. е. к плоскости постоянной фазы at — kx — const. Тогда, как видно из рис. 350, х — (Nr) и, следовательно, kx — (кг), где k = kN — так называемый волновой вектор. В результате получится
E = E0cos (at — kr), //=//0cos(tot — kr), (139.14) или в комплексной форме
(139.15)
Здесь Е0 и На уже могут быть комплексными, что означает введение начальных фаз. Однако, ввиду соотношений (139.8) или
(139.9), в бегущей монохроматической волне электрический и магнитный векторы всегда колеблются в одинаковых фазах. Вид такой волны в пространстве в какой-либо момент времени изображен на рис. 351. Чтобы составить представление об изменении поля во времени, надо вообразить, что весь рисунок равномерно движется вправо со скоростью v. Чтобы получить волну, распространяющуюся влево, надо изменить на противоположное направление одного из векторов: Е или Н.
