Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 3. Электричество" -> 253

Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 3. Электричество — М.: Наука , 1996. — 704 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit31996.pdf
Предыдущая << 1 .. 247 248 249 250 251 252 < 253 > 254 255 256 257 258 259 .. 280 >> Следующая

нахождения уравнения, справедливого для обоих возмущений,
а также их суперпозиции (138.3), дифференцируем вторично и находим
d2s _ d2s_ ^(„d(x — vt)
дх2~І ’ dt* ~ " dt ~ V' ’
или после исключения f"
<138-4>
Легко убедиться, что такому же уравнению удовлетворяет и возмущение (138.2), а также более общее возмущение (138.3). Дифференциальное уравнение (138.4) называется волновым уравнением. Оно справедливо для любых возмущений, распространяющихся в шнуре.
Выражение (138.3), в котором /х и /2 — произвольные функции, есть общее решение волнового уравнения (138.4). Чтобы убедиться
в этом, введем новые независимые переменные І = X — vt И "П = х + vt. В этих переменных уравнение (138.4) принимает вид
Общее решение его s (Q + /2 (г)), и наше утверждение доказано. Следовательно, всякий процесс, описываемый волновым уравнением (138.4), в общем случае представляет собой два возмущения, распространяющихся со скоростью v б противоположных направлениях оси X.
3. Приведем два примера на применение уравнения (138.4). Выведем уравнение малых поперечных колебаний гибкого натянутого шнура, исходя из уравнений механики. Будем считать, что вся упругость шнура вызвана его натяжением Т, упругостью формы пренебрегаем. На элемент АВ шнура (рис. 347) слева действует сила натяжения Т (х). Ее вертикальная составляющая
Os
будет — Т (x) tg а — Т (х) ^ (положительное направление выбрано
вверх). Аналогичная сила действует на правый конец элемента АВ. Результирующая этих двух сил будет
T(x±dx)
я? сс+а'а.- х ,
Рис. 347.
§ 138]
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
619
Для малых колебаний угол а будет мал, и можно пренебречь изменением натяжения Т вдоль шнура. В этом приближении предыду-
дН
щее выражение переходит в Г^г dx. Кроме того, можно также
пренебречь изменениями линейной плотности шнура б при его удлинениях и сжатиях. Приравняв массу элемента б dx, умноженную на его ускорение d2sldt2, действующей силе, находим
,d2s dt2~J дх*'
Это уравнение совпадает с (138.4), а потому для скорости распространения v в шнуре получаем
v = YTjb. (138.5)
Такая формула уже была выведена нами другим способом (см. т.1, § 84). Совершенно так же могут быть выведены формулы для скорости распространения упругих возмущений в стержнях, в неограниченных упругих средах, а также в жидкостях и газах (см. T.I, §§ 81, 83, 85).
В качестве второго примера рассмотрим плазму в постоянном магнитном поле б, обладающую достаточно высо- ^ .
КОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ. ВыДеЛИМ рис 348.
в ней какую-либо тонкую силовую трубку. Если плазма
сместится поперек магнитного поля, то благодаря высокой проводимости ее магнитный поток через поперечное сечение трубки сохранится (см. § 71). Магнитные силовые линии как бы вморошны в вещество и движутся вместе с ним. Но вдоль магнитной трубки действует максвелловское натяжение т = В2/(8п). Поэтому в плазме вдоль магнитных силовых линий могут распространяться поперечные возмущения, аналогичные возмущениям в натянутом шнуре. Такие возмущения называются магнитогидродинамическими или альвеновскими волнами. Они были теоретически предсказаны Альве-ном (р. 1908). Есть, однако, отличие гидродинамических волн от волн в натянутом шнуре. Оно состоит в том, что магнитная силовая трубка подвергается не только продольному натяжению, но и равному ему боковому давлению (рис. 348, а). Однако боковое давление легко исключить. Для этого к основаниям элемента трубки надо приложить натяжение т и равное ему давление. Эти напряжения ничего не меняют, так как они взаимно компенсируют друг друга. Но тогда система максвелловских натяжений сведется к продольному натяжению 2т = В2/(4л) и всестороннему давлению т (рис. 348, б). Всестороннее давление на распространение поперечных
620
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
возмущений не влияет. Поэтому можно воспользоваться формулой
(138.5), полагая в ней Т = 2Sx, 6 = S р, где S — площадь поперечного сечения магнитной трубки, ар — плотность плазмы. Таким путем для скорости распространения магнитогидродинамических волн найдем
’-тк- (138-6)
4. Уравнение (138.4) есть «одномерное» волновое уравнение, поскольку оно относится к распространению процессов только вдоль одного направления, а величина s, характеризующая описываемый процесс, зависит только от одной пространственной координаты х и времени t. Волновые процессы, распространяющиеся в пространстве, описываются трехмерным» волновым уравнением
?+|+S-iS=°- о38-7)
Однако, как правило, мы этим уравнением пользоваться не будем.
§ 139. Плоские электромагнитные волны
1. Пусть в неограниченной однородной среде распространяется без поглощения какое-то электромагнитное возмущение. Отсутствие поглощения означает, что при любом возмущении в среде не выделяется джоулево тепло. Следовательно, величина JE — ХЕ2 должна обращаться в нуль, каково бы ни было поле Е. Это возможно тогда и только тогда, когда X = 0, т. е. когда среда явля-
ется диэлектриком. Допустим, кроме того, что объемных электрических зарядов в среде нет. Тогда уравнения Максвелла примут вид
rot//=-A rot? = — -В,
с ’ с •
div Z> = 0, divi? = 0. (139Л)
Предыдущая << 1 .. 247 248 249 250 251 252 < 253 > 254 255 256 257 258 259 .. 280 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed