Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
®i — аи 4" а12»
fti = 1, h2
= *2
— Оц — Oi2i
Л*----------1,
*2 = ?1 —¦ І2>
___ х\ —х2
>2 о
Например, в случае рис. 345 получаем
616
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
десятков периодов его амплитуда вернется к исходному значению. Затем процесс передачи колебаний от одного маятника к другому будет повторяться, пока в результате действия сил трения колебания не прекратятся.
5. Затухающие собственные колебания в связанных системах рассматриваются так же, как и незатухающие. Надо только ввести в уравнения (137.6) линейные члены, содержащие первые производные и х2. Можно также рассмотреть вынужденные колебания, введя внешние силы, действующие на систему. Это делается так же, как и в случае системы с одной степенью свободы. Наконец, когда число степеней свободы системы п больше двух, то для задания ее конфигурации требуется п координат. Если эти координаты описываются линейными уравнениями типа (137.8), то всякое колебание системы также представится суперпозицией нормальных колебаний с п частотами. Некоторые из этих частот могут совпадать. Тогда говорят о вырождении. Вырожденный случай можно свести к невырожденному. Для этого надо «снять вырождение», т. е. слегка изменить коэффициенты уравнений, а затем совершить предельный переход к первоначальным значениям этих коэффициентов.
§ 138. Волновое уравнение
1. Об электромагнитных возмущениях, или волнах, уже говорилось в § 83, Там на примере плоского возмущения было выяснено, как возбуждаются электромагнитные волны, и вычислена скорость их распространения. Вернемся снова к этому вопросу, чтобы придать изложению математически более простой и систематический характер. Кроме того, мы рассмотрим некоторые новые вопросы. Многие вопросы, относящиеся к учению о волнах (отражение, преломление, интерференция, дифракция, дисперсия и пр.), мы сознательно опускаем, так как они будут подробно рассмотрены в следующем томе.
Начнем с простой механической аналогии. Если ударить по какому-либо месту натянутого шнура, то от места удара в противоположных направлениях побегут два поперечных возмущения. Рассмотрим одно из них, например возмущение, распространяющееся вправо. Положение невозмущенного натянутого шнура примем за ось X. Тогда каждую материальную точку шнура можно характеризовать абсциссой х, которую она имела на невозмущенном шнуре, а само возмущение — смещением s этой точки из положения равновесия, как функции координаты х и времени t: s = s (х, t). Однако эта функция зависит не от х и t в отдельности, а от определенной комбинации их, которая будет найдена ниже. На рис. 346 вверху изображено положение возмущенного шнура в момент времени t = 0. Эта начальная форма шнура может быть представлена уравнением s (|, 0) = f (|), где ? — абсцисса какой-то произвольной
§ 138]
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
617
материальной точки шнура А (?). Через время t возмущение на шнуре переместится вправо на расстояние ОО' = vt, где v — скорость распространения возмущения. Это значит, что смещение s (х, t) точки А (х) с координатой х в момент t будет таким же, каким было смещение точки А (|) с координатой ? в момент t = 0, если только х — I — vt, т. е, s {х, t) — s (|, 0) = f (e) = f (х — vt). Таким образом, опуская аргументы х и t в функции s (х, t), находим для смещения s следующее выражение:
$—f(x — vt). (138.1)
Следовательно, если возмущение распространяется вправо, то величина смещения s зависит только от комбинации аргументов х — vt. Если эта комбинация остается постоянной, то будет оставаться постоянным и смещение S.
Это значит, что уравнение х — vt==
— const есть уравнение фронта распространяющегося возмущения.
Дифференцируя его по t, находим dxidt = +v, т. e. v, как и должно быть, есть скорость распространения волнового фронта.
Таким же путем убеждаемся, что возмущение, распространяющееся влево, описывается уравнением
s=f(x + vt). (138.2)
Если же возмущение идет и вправо и влево, то
s = fi(x-vt)-irf2(x+vt). (138.3)
Вид функций /], и /2 определяется начальными условиями, т. е. заданием начальной формы шнура и начального распределения скоростей, а потому может быть весьма разнообразным.
2. Можно получить уравнение, не содержащее совсем начальных условий, а потому пригодное для описания распространения любых волновых возмущений в шнуре. В этом отношении оно аналогично уравнениям Ньютона в механике, которые также не содержат начальных условий. Независимость от начальных условий связана с тем, что это уравнение (как и уравнение, выражающее второй закон Ньютона) дифференциальное. Для его получения дифференцируем выражение (138.1) сначала по х, а затем по t и находим
ds f, ds f,d(x — vl) iiif,
dx “ < ’ dl~' dt “ V' ’
где f означает производную по аргументу х — vt, от которого за-
висит функция f. Исключая f, находим
ds 1 ds
618
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
Это уравнение не содержит начальных условий. Однако оно описывает не все возмущения, а только возмущения, распространяющиеся вправо. Возмущения, распространяющиеся влево, описываются таким же уравнением, но со знаком плюс в правой части. Для
