Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
йп Ц Vc7 + С ) ’ йі2~ЦС’
1 1/1 , 1
°г1 ЦС1 °22 Ц\с2 1 с
(137.6)
(137.7)
Мы видим, что в обоих случаях колебания описываются однотипными системами линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. К уравнениям такого же типа приводит задача о малых колебаниях механических систем с двумя степенями свободы, например двух связанных маятников. Целесообразно рассмотреть все эти колебания совместно. Поэтому мы не будем конкретизировать колебательную систему, а предположим только, что ее конфигурация определяется какими-то координатами х1 и х2, подчиняющимися системе дифференциальных уравнений
¦*'i + ai\xi + аиХ2 = 0, j з? g)
'^2 “Ь ^21-^1 “Ь «22*2 = 0,
где aik — постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов, как и смысл координат хх н х2, устанавливаются в каждом конкретном случае в отдельности.
2. Попытаемся сначала найти частное решение системы уравнений (137.8):
хх = Ахеш, х% — А^еш, (137.9)
где Ах и А2 — постоянные. После подстановки в (137.8) получаем
(йц —(о2)/4і + а12/42 =0, (137 10)
«2И1 + («22 — «2) Д-2 — 0.
Такая система линейных однородных уравнений имеет отличное от нуля решение только при выполнении условия
= 0. (137.11)
0-21 а22 — СО"
Это — квадратное уравнение относительно ш2. Обозначим его корни через (of и мі Не представляет труда показать, что в обоих примерах, приведенных выше, оба эти корня вещественны и притом положительны. В общем случае, когда система не конкретизирована.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
условие вещественности и положительности корней должно быть Бведено в качестве независимого требования, которому должны удовлетворять коэффициенты aik. Для со получаются четыре значения: ±0»! и ±и2. Однако введение отрицательных со не дает ничего нового. Действительно, коэффициенты уравнений (137.8) вещественны и нас должны интересовать лишь вещественные решения этих уравнений. Но вещественные части выражений Ае mt и имеют один и тот же вид, а именно С cos (at + б), где С и б — произвольные постоянные. Поэтому, не теряя общности, можно ограничиться ЛИШЬ положительными корнями О»! и 0)2.
Как видно из (137.10), коэффициенты Ах и Л2 не независимы. Их отношение однозначно определяется значениями коэффициентов а1к и частоты со:
= . (137.12)
Ах ап ы1 — агг '
Соответственно двум значениям частоты со получаются и два значения отношения h, обозначаемые в дальнейшем через hx и кг. Таким образом, мы нашли два частных решения уравнений (137,8). Первое решение: хх = е‘ш'(, х2 =
Второе решение: хх = еіо>гі, х.2 = 1г2еШг*.
Общее решение выражается линейной комбинацией этих двух частных решений с постоянными коэффициентами, т. е.
*1 = C1ef“*' + C2e““*', 137 j
x2 = h1C1ei^l + h2C2ela'-‘, ' '
где и С2 — произвольные комплексные постоянные. Они определяют амплитуды и фазы колебаний и могут быть найдены из начальных условий: по двум значениям и хг и их производных в момент времени t — 0.
Введем обозначения:
g1==C1e'“*,1 U = C^. (137.14)
Тогда
*i = Ei + E2, лс. = А1?1 + А25г, (137.15)
t — *2 t __ —h1Xl-\-X2 'no-7 IC\
а—Нг-ІЧ '¦ (137Лб)
Отсюда видно, что и ?2 могут быть приняты за новые координаты, определяющие конфигурацию системы. Координата совершает гармонические колебания с частотой о)1( а координата ?2 — с частотой со2. Эти координаты называются нормальными координатами, а совершаемые ими колебания — нормальными колебаниями или модами. Таким образом, в общем случае колебание системы представляет собой суперпозицию двух нормальных колебаний с частотами о»1 и юа.
S 137]
КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
615
3. Рассмотрим симметричный случай, когда ап = а23, а12 = агь В примерах, приведенных выше (см. рис. 344 и 345), такой случай реализуется, когда параметры обоих колебательных контуров одинаковы. Уравнение (137.11) в этом случае переходит в (о>2 — аи)2 — = а12, и, следовательно,
Последнюю формулу легко понять. Действительно, пусть в системе совершается только нормальное колебание с частотой со3, а колебание с частотой &>! не возбуждено. Это значит, что 2|х = =
= <?/ = 0, т. е. ток через конденсатор С не течет. Поэтому на колебания с частотой о)а конденсатор С не оказывает никакого влияния. Система ведет себя как один колебательный контур, в котором катушки самоиндукции и конденсаторы соединены последовательно. Результирующая индуктивность такого контура 2Llt емкость CJ2, а собственная частота а> = \/YLiCi — ю2.
4. Интересное явление наблюдается в симметричном случае, когда связь между обеими подсистемами, из которых состоит сложная система, слабая. В этом случае, ввиду малости коэффициента а12, частоты нормальных колебаний сох и со2 мало отличаются друг от друга. Одна из них немного больше, а другая немного меньше собственной частоты подсистемы со,, = Уап • Колебания координат хг и х2 представляются суперпозицией нормальных колебаний с мало отличающимися частотами. На протяжении нескольких колебаний обе координаты хг и х2 колеблются почти так, как если бы связи не было. Наличие слабой связи приводит к возникновению биений, схематически изображенных на рис. 314. Когда амплитуда координаты Xi проходит через максимум, амплитуда координаты х2 обращается в нуль, и наоборот. Явление легко демонстрируется с помощью двух одинаковых математических маятников, между которыми установлена слабая связь. Отклонив первый маятник, наблюдают, что амплитуда его колебаний медленно убывает и второй маятник также начинает колебаться. На протяжении нескольких десятков периодов колебания первого маятника полностью затухнут, а колебания второго станут максимальными. После этого начнется затухание колебаний второго маятника. Первый маятник, наоборот, начнет раскачиваться, и по истечении такого же числа
