Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Фі = 1 “Ь ^12^2»
Ф2 = Z-21S71 + L2t?7 21
где Z-1 — индуктивность первичной обмотки, Z-2 — вторичной, a Z.,2 = ^-21 — коэффициент взаимной индукции этих обмоток. Ввиду (136.2) при любых токах и 3 2 соблюдается соотношение
Щ (L\q7 1 + L12<?72) = П\ (L2\?7 1 -f- L2g72).
Приравнивая коэффициенты при ?/-^ и <?7 2, из него находим
, n2L}2 — riiL21 (136.4)
а потому
Z-12Z.21 = Z.1Z-2- (136.5)
Если воспользоваться еще теоремой взаимности (L12 = Ці), то получится
Ц2 = 12І = У~ЦЦ. (136.6)
Теперь система уравнений (136.1) принимает вид
= Ш- L^i -VU72<&2,
R2?f2 = — У LiL2 ?7і — L2q72-
Предположим, далее, что электродвижущая сила Ш меняется во времени
синусоидально: Ш ~ еш. Тогда для установившихся колебаний получится
(Ri + /(oZ.1) ?71 -f- і® ~\f ЦЦ ?7 2=ШХ
іа> VL±L2 є!7j -f- {Ri “Ь <?72 ~ 0.
(136.7)
(136.8)
Отсюда
&i-
R2 “f- ia>L2
R1R2 “b k# (LiR2 -f- L2Ri) ?
Ш.
(136.9)
jr _______ і<и 1 LyL2______eg
2 R1R2 + m(L1R.i+L2R1)°-
Эти формулы и решают задачу о трансформаторе. В практически важном случае омическое сопротивление первичной цепи R1 мало по сравнению
603
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ, X
с индуктивным СиLx. Пренебрегая им, получим от Ri-\-iC?)L2 je.
*¦ (13G I01 Г12 & _ їй ш УГ >hR.r
При выводе последнего соотношения было учтено, что индуктивность обмотки пропорциональна квадрату числа витков. Формула делает понятной основную идею трансформатора. Если бы сопротивление /?2 было непосредственно при-соединено к источнику электродвижущей силы і??, то получился бы ток с//^. Трансформатор увеличивает этот ток в п2/пі раз или уменьшает в «і/пг раз. Этот факт обычно выражают несколько иначе. Величина = R*°7 ? дает падение напр я-жешш на сопротивлении R.z. Ее называют напряжением во вторичной цепи. Из второй формулы (136.10) получаем
V2 = — ^&. (136.11)
Пг
Трансформатор повышает напряжение в njnі раз или понижает в r\Jn, раз. С этим и связано соответствующее увеличение (или уменьшение) тока в сопротивлении R*.
2. Что касается тока <7 ъ то при его рассмотрении удобнее обратиться к векторной диаграмме. Ограничимся случаем R1 = 0. Тогда первое уравнение (136.8) запишется в виде
-I г у—Г " яг О
2“
10)
Еслї! ¦= оо, то с*7з = 0. В этом случае ток в первичной цепи называется током холосто:о хода трансформатора. Обозначим его через -70- В нашем случае (Rt =
= 0) <?Гв=?1(ши) и, следовательно,
<2^2 = ^15^0» или ЧЧ>^Р ' ч — о- (136.12)
N\' X. Ток холостого хода а/0 =— !(?/(o»L,)
- отстает по фазе от напряжения на л/2.
H/Vo Если на векторной диаграмме напряже-
ние изобразить горизонтальным отрезком. Рис. 342. направленным вправо, то ток холостого
хода <?7Л изобразится отрезком, направленным вниз (рис. 342). Ток е7\», как видно из (136.10), изобразится горизонтальным отрезком, направленным влево. Вместо самого тока удобнее откладывать ток, умноженный на соответствующее число витков (так называемые ампер-витки). Согласно (136.12) величина п.^7 х изобразится вектором, равным геометрической разности секторов п% -7 9 и пго72. При увеличении нагрузки (т. е. уменьшении сопротивления R2) ток й72. «ак показывают формулы (136.10), растет. Вместе с ним растет и ток ?7j. А так как ток холостого хода остается неизменным, то из рис. 342 следует, что должен уменьшаться сдвиг фаз ф между током q7i и напряжением <?. Оба эти обстоятельства ведут к увеличению потребляемой мощности.
3. Вычислим среднюю мощность электрической энергии Р0 в первичной цепи. Считая для общности сопротивление /?, каким угодно, запишем ток в виде
a+ib "с+ id
Значення почояшшх а, Ь, с, d легко установить, сравнивая это выражение о
§ 13G] ТРАНСФОРМАТОР 609
первой формулой (136.9). Умножая числитель и знаменатель на с — id, получим _ (ас + bd) +і (be — ad) ф
Qs 1 - о j ~7п 0»
c2 + d2
Отсюда для косинуса сдвига фаз между током Зі и напряжением Ш получим
_ ac-j-bd
C0S ^ j (ас -{- bd) +і (be — ad) j ’
a для средней мощности
Л> = 2-|^1|созФ=|^±^|Ір.
Подставим сюда значения коэффициентов а, Ь, с, d. Кроме того, введем отношение индуктивного сопротивления цепи к соответствующему омическому сопротивлению:
coLK
u,K —
В результате найдем
ак=-~. (136.13)
Кк
р _ 1 1 + а.г (dj Ц- дг) [ Ш |2
2 Т+Са. + о^-лГ- (136Л4)
t?r? = __-------2l_------ (136.15)
1 + «г (ai + аз) '
Ток отстает по фазе от напряжения на угол | <р [.
Средняя мощность, потребляемая в первичной цепи, будет = *АА1 <3\ Iа. а во вторичной Я2 = 1/г/?21 з72 I2. Вычисляя их, получим
р р 1 аіаг П36 lfil
1_ І + К + а*)2 Яі2 2 1+(аі + а2>2 ( }
Таким образом, Р0 = Pj + Я2, как это и должно быть. При неизменных параметрах первичной цепи (ё, Rx, а,) мощность Я2, потребляемая во вторичной цени, максимальна, когда a.j = Va‘i + li или приближенно, когда аг = at, так как
в практически важных случаях всегда ax 1. Максимальное значение Я2 дается
приближенным выражением
(13617>
Мощность тока в первичной цепи при этом будет Я0= Т т. е. вдвое больше.
4 К]
Таким образом, к. п. д. трансформатора составляет всего 50%. В общем случае к. п. д. дается выражением
Ч=р2 = а;аа. ...........(136.18)
