Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичные рассуждения применимы и к раскачке качелей. Для пояснения возьмем математический маятник, колеблющийся на нити, верхний конец которой пропущен через малое отверстие. Будем втягивать нить, когда маятник проходит через нижнее положение, и настолько же выпускать ее, когда он проходит через крайние положения. В первом случае мы совершаем над маятником положительную работу, сообщая маятнику энергию, а во втором — отрицательную работу, отбирая от него энергию обратно. Однако положительная работа по абсолютной величине превосходит отрицательную. Действительно, натяжение нити максимально, когда колеблющийся маятник проходит через среднее положение, так как это натяжение должно не только уравновесить вес маятника, но и сообщить ему ускорение. Напротив, в крайних положениях натяжение нити минимально, так как здесь оно должно уравновесить только составляющую силы веса вдоль направления нити. Поэтому при равных перемещениях вдоль нити сила натяжения в среднем положении совершит большую работу, чем в крайнем положении. В результате в среднем положении маятник будет получать больше энергии, чем возвращать в крайнем. Поэтому произойдет параметрическая раскачка колебаний. Человек, качающийся на качелях, подобен маятнику: он приседает в крайних положениях и выпрямляется в среднем.
4. Наличие омического сопротивления, пока оно остается постоянным, не вносит никаких затруднений. Надо только учесть, что теперь свободные колебания системы между моментами изменения ее параметров происходят с затуханием. Если выполнено условие, что потери энергии, связанные с этим затуханием, меньше энергии, вкладываемой в систему за тот же промежуток времени, то опять будет происходить раскачка колебаний с амплитудой, возрастающей в геометрической прогрессии. Таким образом, если бы система все время подчинялась линейному дифференциальному уравнению, то при соблюдении указанного условия амплитуда колебаний непрерывно возрастала бы до тех пор, пока не произошел бы «пробой» конденсатора или изоляции подводящих проводов. Возникновение параметрических колебаний с установившая амплитудой теория, основанная на линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами, объяснить не может. Для получения колебаний со стационарной амплитудой в систему приходится вводить проводники с нелинейной характеристикой,
606
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
(ГЛ. X
например катушку с железным сердечником, лампы накаливания и пр. Но тогда дифференциальные уравнения, описывающие систему, становятся нелинейными. Из этих уравнений можно получить не только условие возникновения стационарных установившихся колебаний, но и найти их амплитуду.
5. Все изложенное подтверждается опытом. На рис. 340 изображена емкостная параметрическая машина Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси. Конденсатор машины состоял из двух систем обкладок — неподвижной (статор) и подвижной (ротор). Статор был изготовлен из 26 квадратных алюминиевых
Рис. 340.
пластин с симметрично расположенными радиальными вырезами, а ротор — из 25 таких же пластин круглой формы с аналогичными вырезами. С помощью мотора ротор можно было приводить во вращение со скоростью до 4000 оборотов в минуту. При этом периодически менялась емкость конденсатора и возбуждались параметрические колебания тока. Для того чтобы сделать систему нелинейной, параллельно конденсатору включалась цепочка из 6 неоновых ламп. При наличии последних на конденсаторе получалось устойчивое напряжение, достигавшее 600—700 В. В отсутствие неоновых ламп напряжение не устанавливалось, а продолжало нарастать до 2000—3000 В, пока не проскакивали искры между обкладками конденсатора. Аналогичные опыты можно произвести и с «индукционной машиной», в которой периодически меняется индуктивность контура.
§ 136. Трансформатор
1. Трансформатор состоит из двух обмоток — первичной и вторичной, навитых на общий железный сердечник (рис. 341). Уравнения колебаний в такой системе записываются в виде
Я2#2 = -Ф2, (136.1)
где индексом 1 обозначены величины, относящиеся к первичной, а индексом 2—¦ к вторичной обмоткам. Для простоты пренебрежем рассеянием магнитного потока, проходящего через железный сердечник трансформатора. В этом предположении
?г = —. (136.2)
Ф2 ^2
где tii и л2 — числа витков в первичной и вторичной обмотках. Записав это соотношение в виде п±Ф2 = ЯоФі и продифференцировав по времени, убеждаемся,
§ 136]
ТРАНСФОРМАТОР
607
что для производных магнитного потока справедливо такое же соотношение:
Фі_
Ф2 Tl2
Оно позволяет исключить из уравнений (136.1) магнитные потоки. Таким путем получаем
= (136.3)
л2
Отсюда видно, что наличие вторичной обмотки меняет ток в первичной цепи. Однако уравнения (136.3) недостаточно для определения двух неизвестных ?7і и оУ2. Для получения недостающего
Ьгяг
Рис. 341.
уравнения введем упрощающее пред-положение, что трансформатор идеаль- •—
ный, т. е. не обладает ферромагнетиз- fees
мом. (В реальных трансформаторах, 2 ,
конечно, это не так.) Тогда связь —
между магнитными потоками и тока- Я L п ми будет линейной: ill
