Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
49
ний электродинамики еще не означает, что полностью верна и та микрокартина, которая была положена в основу вывода этих уравнений.
2. Задание микроскопических величин в каждой точке пространства и в каждый момент времени дало бы наиболее детальное описание поля. Однако практически (а может быть, и принципиально) оно неосуществимо. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым пользуется макроскопическая электродинамика. Она отвлекается от атомистического строения электричества н связанных с ним мелкомасштабных изменений поля, происходящих на ядерных и атомных расстояниях. Она принимает во внимание только изменения поля на макроскопических расстояниях. Она оперирует со сглаженными полями и распределениями электричества, плавно меняющимися в пространстве и во времени. Такие поля называются средними или макроскопическими полями (короче, макрополями). Напряженность электрического макрополя будем обозначать посредством Еткро, или, короче, Е.
Описание поля в веществе посредством величин типа. Еткро, Рмпкро и Т. д. аналогично детальному механическому описанию движения вещества, в котором указывается положение и скорость каждой молекулы и составляющих ее частиц в любой момент времени. Описание с помощью макроскопических величин, напротив, аналогично гидродинамическому рассмотрению движения жидкости как сплошной среды. При таком рассмотрении распределение вещества в пространстве характеризуется объемной плотностью его, а движение — скоростью гидродинамического потока v как непрерывными функциями времени и пространственных коордннат. Молекулярные силы учитываются также суммарно — посредством внутренних давлений и касательных напряжений, возникающих при движении жидкости.
Дадим теперь более точное количественное определение макроскопического поля Е. Под Е мы будем понимать микрополе Ея„коо', усредненное по физически бесконечно малым объемам пространства. Чтобы вычислить макроскопическое поле Е в какой-либо точке пространства, надо взять физически бесконечно малый объем V, внутри которого находится эта точка, проинтегрировать вектор Е'ттро по этому объему и значение интеграла разделить на величину объема V:
Е = у\ ?мпкро dV. (10.1)
V’
Так же определяется макроскопическая плотность р = (р„ш;ро) и любая другая макроскопическая величина. Результат вычисления практически не должен зависеть от величины и формы объема V. Для этого необходимо, чтобы внутри объема V содержалось еще
50
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
!ГЛ. 1
очень много атомов, В то же время объем V должен быть настолько малым, чтобы с ним, а также с любыми линейными размерами его можно было обращаться, как с математическими дифференциалами. Объемы V, удовлетворяющие обоим этим условиям, и называются физически бесконечно малыми. Усреднение по таким объемам в смысле операции (10.1) сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения его на макроскопических расстояниях.
3. Уравнения макроскопического поля могут быть получены из уравнений для микроскопического поля. Если те и другие уравнения представить в дифференциальной форме, то возникает вопрос: как связаны между собой производные обоих полей? На этот вопрос отвечает математическая формула
ЧР--<Ж>- <10-2>
Она утверждает, что усреднение и дифференцирование по координате можно переставлять местами. То же справедливо и для диф-
ференцирования по времени. Для доказательства запишем формулу типа (10.1) более подробно:
<Л(г)>=4$ A(r')dV'. (10.3)
В соседней точке
<А (г + Ar)> = 1 J А (ґ + АҐ) dV.
Поскольку результат усреднения не зависит от величины и формы области интегрирования, последнюю мы выбрали одинаковой в обоих случаях. Элементы объема также можно выбрать одинаковыми. Тогда
(А (г + Аг)> - {А (г)) = 1 jj [А (ґ + Дг) - А (Ґ)] dV.
v
Выберем теперь вектор Дг так, чтобы он был параллелен оси X, т. е. положим Аг = і Ах. Разделив последнее соотношение на Ах и перейдя к пределу Ах 0, получим
д<Л) 1 С дА(ґ)
дх ~ V \ дх' av »
а это и есть формула (10.2). Аналогично, дифференцируя выражение (10.3) по времени как параметру, найдем
4^ = <ж>- <10-4>
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
51
Примем теперь, что для микроскопического поля справедлива теорема Гаусса в виде
v ?МИКр0 = 4ярмикр0. (10.5)
Усредняя соотношение и принимая во внимание, что (div Еаикро) = = div (Еиикр0) =з div Е, получим
divE = 4itp, (10.6)
где р — средняя (макроскопическая) плотность электричества
в веществе, т. е. р = ( Рмикро)- Это — дифференциальная форма
теоремы Гаусса в веществе. Она справедлива не только в электростатике, но и во всей макроскопической электродинамике.
4. При рассмотрении электрических явлений в веществе очень важно иметь правильное представление о порядке величин сил, действующих между протонами и электронами. Эти силы очень велики по сравнению с гравитационными силами притяжения между теми же частицами. Вычислим, например, отношение силы электрического отталкивания двух протонов Fe к силе их гравитационного притяжения Fg. Заряд протона е = 4,8-10'10 СГСЭ-ед. заряда, масса tnp = 1,67-10”24 г. Используя эти данные, найдем
