Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
<іФ = div Е-dV,
(7.1)
div ?=4лр.
(7.3)
J) С использованием так называемых обобщенных функций дифференциальную форму теоремы Гаусса можно распространить и на эти случаи.
42
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
ваться как предельные случаи непрерывных распределений с всюду конечными значениями р. Если это иметь в виду, то можно утверждать, что интегральная и дифференциальная формы теоремы Гаусса полностью эквивалентны.
3. В электростатике теорема Гаусса является не более как одним из следствий закона Кулона. Но мы не можем ограничиться электростатикой. Наша задача значительно шире. Мы должны путем обобщения опытных фактов отыскать общие уравнения и законы, применимые не только в электростатике, но и во всей электродинамике. В качестве руководящего принципа при отыскании таких законов можно выставить требование, чтобы они были законами теории поля, исключающими мгновенное действие на расстоянии. Закон Кулона этому требованию не удовлетворяет. Он может быть справедлив только в электростатике. Однако следствия, выводимые из него, могут иметь и более широкую область применимости. К числу таких следствий и относится теорема Гаусса. Она не противоречит теории поля с ее представлением о конечной скорости распространения взаимодействий. Записанная в дифференциальной форме, теорема Гаусса не содержит никаких намеков на дальнодействующий характер сил. Она является локальной теоремой, т. е. связывает различные физические величины (р и div Е) в одной и той же точке пространства. Законы теории поля не обязательно должны быть локальными. Однако все локальные законы совместимы с основным представлением этой теории о передаче взаимодействий посредством полей. С другой стороны, закон Кулона только достаточен, но не необходим для доказательства теоремы Гаусса. Поэтому естественно ввести гипотезу, что теорема Гаусса верна не только в электростатике, но и в электродинамике, имеющей дело с переменными во времени электромагнитными полями. Верна эта гипотеза или нет — на этот вопрос может дать ответ только опыт. Вся совокупность опытных фактов говорит в пользу этой гипотезы. Поэтому она и была принята в физике. Тем самым уравнение (7.3) и математически эквивалентное ему уравнение (5.5) перестают быть скромными следствиями закона Кулона, а возводятся в ранг основных постулатов теории электричества. Они входят в систему основных уравнений Максвелла.
Теорема Гаусса в интегральной форме (5.5) устанавливает связь между физическими величинами в сколь угодно удаленных точках пространства в один и тот же момент времени. Поэтому может показаться, что ее справедливость связана с предположением о мгновенном действии на расстоянии. Возможность представления теоремы Гаусса в дифференциальной форме показывает, что это не так. Формула (5.5) утверждает только, что с электрическим зарядом q всегда связано какое-то электрическое поле. Поле неограниченно долго покоящегося заряда кулоново на любых расстояниях. Но если заряд движется, то это уже не так. Например, ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны. Однако поток
ФОРМУЛА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО
43
вектора Е через любую замкнутую поверхность, окружающую одни и те же заряды, не зависит от формы и положения этой поверхности, а также от характера движения зарядов.
ЗАДАЧА
Получить формулы (6.1)—(6.3), (6.5)—(6.7), пользуясь теоремой Гаусса в дифференциальной форме.
Решение. В качестве примера получим формулу (6.5). Ввиду шаровой симметрии
?=E(r)f,
или в координатной форме
Ех = Е(г)±, ЕУ = Е(Г)±, Ег = Е(г)^.
Дифференцируя Ех и учитывая, что дгідх = хіт (последнее получается дифференцированием равенства г2 = х2 + у2 + г2), находим
dEjc dE х2 Е „ Е
дх dr т2
Написав аналогичные соотношения для производных дЕу1ду и dEjdz и сложив, получим
div?=S + T = Fr?<^- <7‘4>
Внутри шара
те(/3?)=4лр*
откуда
*7 4л 1 С
? = трг+-г.
Постоянная С должна равняться иулю, так как напряженность поля Е в центре шара конечна, как это ясно из физических соображений. Аналогично найдем выражение для напряженности поля вне шара.
Обратим внимание на формулу (7.4.). Она дает выражение для дивергенции любого вектора, когда этот вектор направлен радиально и зависит только от расстояния до начала координат (сферическая симметрия).
§ 8. Математическое дополнение.
Формула Гаусса — Остроградского
1. В различных вопросах теории электричества и других разделов теоретической физики часто применяется математическая формула, с помощью которой поток вектора через произвольную замкнутую поверхность выражается через объемный интеграл по области, ограниченной этой поверхностью. Приведем вывод этой формулы, хотя в большинстве случаев мы и будем избегать пользоваться ею. Пусть / (х, у, г) — некоторая функция, a S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V (рис. 26). На отрезке 12, параллельном оси X, / является функцией одного аргумента х. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим
С wv * г
44 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ [ГЛ. I
где fi и F2 — значения функции f на концах рассматриваемого отрезка. Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть da — площадь поперечного сечения его (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на da. Так как da dx есть элементарный объем dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
