Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
I
/
!
•
IV.
О
А в
Рис. 237.
е кт +1
где є — кинетическая энергия электрона в рассматриваемом квантовом состоянии, а [і — постоянная (химический потенциал электрона). Вид функции / представлен на рис. 237 сплошной линией.
2. При конкретных применениях формулы (99.1) необходимо знать число квантовых состояний, в которых может находиться электрон. Ответ на этот вопрос дает квантовая механика. Приведем его без всяких обосновании. Введем фазовое пространство электрона, т. е. шестимерное пространство, по координатным осям которого откладываются прямоугольные пространственные координаты х, у, г и соответствующие им проекции импульса электрона Рх, Ри, Рг- Импульс электрона связан с его кинетической энергией є соотношением є = р2/(2т). Пусть V — объем, занимаемый электронным газом, а импульс электрона может принимать все значения от нуля до р. Объем соответствующего фазового пространства
4Я
определяется выражением Q = 'pW. Введем, далее, фазовые
ячейки с фазовым объемом /г3 каждая. Число таких ячеек в рассматриваемой области фазового пространства будет Й/Ъ3. Если бы электрон не обладал спином, то, как показывает квантовая механика, тому же выражению было бы равно и искомое число квантовых состояний электрона. Из-за наличия спина это выражение надо удвоить, так как в одной фазовой ячейке могут помещаться два электрона с противоположно направленными спинами. В дальнейшем будем предполагать, что 7=1. Тогда число квантовых состояний с импульсами от 0 до р представится выражением
Z= 2
8л
Р1
(99.2)
§ 99]
СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА В МЕТАЛЛАХ
.445
Число квантовых состояний с импульсами между р и р + dp будет
3. Вычисления с использованием формулы (99.1) очень громоздки, хотя в принципе и просты. Однако основной интерес представляет случай вырожденного электронного газа, т. е. газа вблизи абсолютного *
нуля температур. Рассмотрим сначала / — --------------------
полнее вырождение, когда Т — 0. В этом случае функция (99.1) переходит в
Она представлена на рис. 238. Наибольшая энергия, которую может принимать электрон, емакс = ц, а наибольший импульс — Рыкс — V2тц. Величина ц называется энергией или границей Ферми. Число электронов в единице объема
имеет размерность температуры и называется температурой вырождения электронного газа. Газ считается вырожденным, если его температура Т <С Tg. При сильном вырождении Т Tg.
Давление электронного газа
(99.3)
а с кинетической энергией между є и є -f ds
(99.4)
О
Рис, 238.
(99.5)
(99.6)
<$ = ^ є dZ — ^ е3/г = ^ [ап,
б
а средняя энергия, приходящаяся на один электрон,
(99.7)
Величина
(99.8)
еУ5 = —• пЪ =
(99.9)
446
ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ВАКУУМЕ [ГЛ. VII
Полагая для меди (см. табл. 5 на стр. 442) п — 1022 см"3, по этим формулам находим TR та 5-104 К, ^ » 5-Ю1 атм. Для всех металлов температура вырождения Tg много выше температуры плавления. Полученные цифры показывают, насколько мала кинетическая энергия теплового движения электронов металла по сравнению с «нулевой энергией», которой обладают электроны при абсолютном нуле температур. Практически электроны проводимости всех металлов находятся в состоянии сильного вырождения.
4. От полностью вырожденного перейдем к рассмотрению сильно вырожденного электронного газа. В этом случае почти все квантовые состояния ниже границы Ферми, для которых ^ — є kT, заполнены электронами, как и при абсолютном нуле температур. Исключение составляют только квантовые состояния вблизи самой границы Ферми. Здесь «прямоугольное распределение» Ферми, соответствующее абсолютному нулю температур, возмущается тепловым движением электронов, для которых є—|л ~ kT. Такие электроны непрерывно пересекают границу Ферми в прямом и обратном направлениях, причем в состоянии статистического равновесия средние числа прямых и обратных процессов одинаковы. Только такие электроны участвуют в тепловом движении. Ими, в частности, обусловлена теплоемкость электронного газа в металлах.
Выразим прежде всего концентрацию и кинетическую энергию электронного газа через энергию Ферми ц. Для этого надо вычислить два интеграла:
в которых интегрирование производится по всем значениям импульса р или энергии е. Поскольку точное вычисление этих интегралов очень громоздко и требует специальных искусственных приемов, упростим задачу. Проведя в точке С (см. рис. 237) касательную А В к кривой Ферми, заменим этой касательной соответствующий участок кривой распределения Ферми. Иначе говоря, распределение Ферми аппроксимируем функцией
1, если є<)г —2 kT,
/= y + если Ц —2&Г<є<|л + 2kT,
\x — 2kT
где для сокращения введено выражение ZMaKC, определяемое формулой (99.5). Взяв первый интеграл и учитывая, что kT ц,
§ 99] СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКЛ Б МЕТАЛЛАХ 447
преобразуем результат с помощью разложения бинома. Обрывая разложение на членах второй степени по kT/ц, получим
f ,/ л 2 ,, Л 2кТуи 2 з; Л 3kT . 3 ?2Г2\
Во втором интеграле произведем замену переменной: (е — \i)/(2kT)= = х. Тогда
./ і/ Л і 2kTx\'h . ,, /, ?7*\
?>/, = ц А 1 -j----j = (UV2 1+.
