Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Направим оси X и Z параллельно сторонам нашего прямоугольного контура (см. рис. 152). Стороны АВ и ВС изобразим векторами а и Ь. Силы, действующие на стороны АВ и CD, равны
соответственно — [аВ^\ и----1 е7 [аВ2], где Вх и В.г — средние зна-
С С
чения соответствующих напряженностей магнитных полей. Так как Bi — В2 — —bdBldz, то равнодействующая этих сил равна
<?? [ дВ1, & . Г дві
Л =¦- ^ [« тгjЬ = ¦-— аЬ [е‘ TG-J = - — SL*' TrJ•
где S = ab — площадь контура. Следовательно, Fx =—3ЖвудВІдг]. Аналогично, равнодействующая сил, действующих на противоположные стороны DA и ВС, равна = 3)1 [еядВ/ду]. Полная сила
I I I I I t і і * t * ¦
244
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ |ГЛ, III
Подставим сюда В = Вхех + Виеи + B,ez. Тогда получим
/ дВх дВк д8„
F=?BlU±eu + -^ez v
ду у т дг г ду х дг
В силу уравнения (53.2) дВи/ду -f dBJdz = —дВх/дх. Предположим, кроме того, что виток находится в пространстве, где нет токов. Тогда по теореме о циркуляции (56.1) дВх1ду = дВу/дх, dBJdz — = dBJdx. Следовательно,
г- «ЛдВх . дву . дВ* \
дх Єх+ дх Єу+ дх е‘) —
=эя (вхех+вуеу+Bzez)=ая -g-.
Так как магнитный момент SOt направлен по оси X, то это выражение совпадает с выражением (57.3).
ЗАДАЧИ
1. Определить движение заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле В.
?
Решение. Действующая сила F= — [vB] перпендикулярна к скорости
частицы V. Она работы не производит, а потому величина скорости ® остается неизменной. Скорость v может меняться только по направлению. Допустим скачала, что скорость v перпендикулярна к магнитному полю В. Тогда частица будет двигаться по окружности. Угловая скорость вращения ю определится из уравнения
«— /лоз2г = ~ [vB],
Подставляя в него ю = [юг], получим
—- торг — — [[юг] і5] = — (а>В) rt
С с
откуда
<а=------—В. (57.4)
тс
Величина I со I называется циклотронной частотой, а радиус окружности
v rncv /КТ
г = ~,—г = і—гн- (57.5)
| со | | е | В
— ларморовским радиусом.
Если скорость v не перпендикулярна к В, то для нерелятивистских движений ее можно представить в виде ® + ®j_, где — скорость частицы
вдоль поля В, а -о^ — перпендикулярно к нему. Частица будет вращаться по окружности с прежней частотой (57.4). Радиус окружности будет
mcv і
(57.6)
х' 1*1 в-
На это вращение наложится равномерное движение вдоль поля В со скоростью г>ц. Таким образом, траекторией частицы будет спираль с осью, направленной вдоль магнитного поля В.
ПОЛЕ ТОКА И МАГНИТНОГО ЛИСТКА
245
2. Заряженная космическая частица (например, протон) захвачена земным магнитным полем и вращается вокруг Земли в плоскости экватора по окружности радиуса R = 6700 км. Напряженность земного магнитного поля на траектории частицы В = 0,4 Гс. Найти энергию такой частицы.
Ответ, ё = гас2 = еВЯ = 80 ГэВ.
Указание. Скорость космической частицы настолько мело отличается от скорости света, что ее энергия покоя пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией. Кинетическую энергию можно вычислять по формуле 8 —
— тс2, где т — релятивистская масса частицы.
3. Серпуховской ускоритель протонов ускоряет эти частицы до энергии Щ = 76 ГэВ = 7,6-1010 эВ. Если отвлечься от наличия ускоряющих промежутков, то можно считать, что ускоренные протоны движутся по окружности радиуса R = 236 м и удерживаются на ней магнитным полем, перпендикулярным к плоскости орбиты. Найти необходимое для этого магнитное поле.
Ответ. В — S/(Re) = V/R = 1,07-104 Гс (V — ускоряющее напряжение, соответствующее энергии Щ, равное 7,6-1010 В = 2,53-108 СГСЭ-ед).
Указание. Протоны считать ультрарелятивистскими. Их скорость настолько близка к скорости света, что энергия покоя протона пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией. При таком условии кинетическую энергию можно вычислить по формуле Щ = тс2, где т — релятивистская масса протона.
4. Легкий шарик массы т = 0,5 г и радиуса г = 1 см подвешен на длинной нити и вращается по горизонтальной окружности, радиус которой очень мал по сравнению с длиной нити (конический маятник). Найти изменение угловой скорости вращения шарика Дсо после того, как шарик был заряжен до потенциала
V — 3000 В и помещен в вертикальное магнитное поле В = 3000 Гс. В каком случае угловая скорость увеличится и в каком уменьшится?
Примечание. Окончательную формулу для изменения угловой скорости упростить, использовав соотношение (?>0 = qB/{mc)-^Y^g/l, где q — заряд шарика, I — длина нити, g — ускорение силы тяжести.
Ответ. Аш = ш — со0 = ± qB/(2nic) = ± rVB/(2mc) — Ю^Г1. Угловая скорость увеличится, когда векторы В и ш0 направлены противоположно, и уменьшится, когда их направления совпадают.
5. В центре рамки, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной а — 36 см, помещена маленькая магнитная стрелка. Плоскость рамки совпадает с плоскостью магнитного меридиана Земли. Какой ток з7 надо пропустить по рамке, чтобы стрелка повернулась на угол 45°? Горизонтальная составляющая земного магнитного поля В0 = 0,4 Гс.
Ответ. 3 ^/мсаВд = 2,4-1010 СГСЭ-ед. = 8 А.
6. Масс-селектор, т. е. прибор, предназначенный для разделения атомных частиц разных масс, состоит из цилиндрического конденсатора с внутренним радиусом R^ = 2,4 см и внешним R2 = 3 см (рис. 155). Ионные лучи попадают в селектор через узкую щель S, расположенную посередине между обкладками. Параллельно оси конденсатора (т. е. перпендикулярно к плоскости чертежа) приложено однородное магнитное поле В = 2000 Гс.
