Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 57. Эквивалентность магнитных полей тока и магнитного листка
1. До открытия магнитных действий тока причину магнитных явлений видели в существовании особых субстанций — северного и южного магнетизмов, взаимодействующих между собой по тому же закону Кулона, которому подчиняются электрические заряды. В одном отношении, однако, магнитные заряды существенно отличались от электрических: в магните невозможно отделить северный полюс от южного. Это вызывало сомнения в реальном существовании магнитных зарядов. Ампер выдвинул гипотезу, подтвержденную всеми последующими исследованиями, согласно которой магнитных зарядов не существует, а единственными источниками магнитного поля являются токи. К обычным макроскопическим токам Ампер добавил так называемые молекулярные токи, которые, по его представлениям, циркулируют внутри атомов вещества. Как было установлено уже в 20 столетии, молекулярные токи Ампера — это просто движущиеся электроны и ядра, из которых построены атомы вещества. Почему же формальное учение о магнетизме, основанное на представлении о магнитных зарядах, приводило к правильным результатам, если в действительности таких зарядов не существует? На этот вопрос дает ответ теорема Ампера об эквивалентности магнитных полей тока и магнитного листка.
2. Рассмотрим сначала элементарный виток тока. Магнитное поле вне витка может быть выражено через магнитный потенциал {55.2). Для элементарного витка Q = — (Sr)/r*t где S’ — вектор
242
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. ш
элементарной площадки, натянутой на контур тока. Радиус-вектор г проведен от витка к точке наблюдения, в связи с чем в выражении для Й и поставлен знак минус. Используя это выражение, получим
= (57.1)
где магнитный момент тока, определяемый выражением (52.2).
Формула (57.1) совпадает с соответствующей формулой (19.6) для электрического потенциала точечного диполя. Вместо электрического дипольного момента р в нее входит магнитный момент тока 'Ж. Таким образом, при нахождении напряженности магнитного поля элементарный виток с током можно заменить элементарным магнитом, состоящим из двух магнитных зарядов противоположных знаков, слегка сдвинутых один относительно другого. Отсюда следует, что магнитное поле элементарного витка (как и поле точечного диполя) меняется обратно пропорционально кубу расстояния от него. Этот результат был использован при выводе формулы (55.8) для напряженности магнитного поля соленоида.
Обобщение полученного результата на конечные витки с током производится обычным приемом разложения конечного витка на элементарные (рис. 144). Заменив каждый элементарный виток эквивалентным ему диполем, получим «магнитный листок», т. е. поверхность S, натянутую на контур тока, одна сторона которой равномерно покрыта северным, а другая — южным магнетизмами. На единицу площади такой поверхности приходится магнитный момент
ш = п, (57.2)
называемый мощностью магнитного листка. (Единичный вектор нормали п к поверхности S должен находиться в правовинтовом соотношении с направлением тока.) Магнитное поле такого магнитного листка во внешнем пространстве совпадает с магнитным полем тока &, текущего по контуру листка. В этом и состоит теорема Ампера. В качестве S можно выбрать любую поверхность, опирающуюся на рассматриваемый контур тока.
3.: Эквивалентность магнитных полей тока и магнитного листка имеет место только во внешнем пространстве. Внутри листка магнитное поле существенно отличается от магнитного поля тока в соответствующих точках пространства. Силовые линии магнитного поля тока тянутся непрерывно, обвиваясь вокруг тока, а магнитный потенциал нигде не претерпевает скачков. Напротив, при прохождении через магнитный листок потенциал меняется скачкообразно на 4лт = 4ла?7с. Это связано с тем, что внутри листка магнитное поле очень сильное и направлено противоположно наружному полю. Магнитный листок подобен конденсатору с близко
ПОЛЕ ТОКА И МАГНИТНОГО ЛИСТКА
243
расположенными обкладками (рис. 154). На ранней стадии учения о магнетизме изучались магнитные поля вне магнитов. По теореме Ампера они могли быть точно моделированы полями магнитных зарядов, надлежащим образом распределенных внутри магнита. Этим и объясняется, почему расчеты, основанные на представлении о магнитных зарядах, приводили к верным результатам. Однако мы пришли бы к грубым ошибкам, если бы пользовались этими представлениями при расчетах магнитных полей внутри магнитов или в тех областях пространства, по которым текут электрические токи.
4. Аналогия между током и магнитным листком относится не только к возбуждаемым ими магнитным полям. Она распространяется также на силы, действующие на токи и листки в магнитных полях. Действительно, ранее уже было показано, что на элементарный виток с током в магнитном поле действует вращающий момент М = [ЗЛ#]. Остается поэтому доказать, что в неоднородном поле на эле- \ f | ¦ ¦ » ментарный виток действует сила
F= (3»V) В. (57.3)
Для доказательства достаточно ограничиться случаем элементарного витка, рис. 154.
имеющего форму бесконечно малого прямоугольника, так как введением добавочных перемычек произвольный контур можно разбить на более мелкие прямоугольные подконтуры (см. рис. 144). Непрямоугольными могут оказаться только подконтуры, примыкающие к границе. Но число перемычек можно взять настолько большим, чтобы площадь, охватываемая такими подконтурами, стала пренебрежимо малой по сравнению с площадью всего контура.
