Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
оси А А. Возьмем внутри тора одну из таких окружностей радиуса R (на рис. ,151 она изображена пунктиром). Циркуляция магнитного поля вдоль этой окружности равна 2 nRB. Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную этой окружностью, равен No?, где N — число витков в тороидальной катушке. По
теореме о циркуляции 2nRB = 4nNe?/c, а потому
2
В =
cR
N&.
(55.10)
Таким образом, внутри тора магнитное поле совпадает с полем прямого тока силою Ne7, текущего вдоль оси А А. Вне тора магнитное поле равно нулю. Устремляя N и R к бесконечности так, чтобы отношение і = N3/ (2nR) оставалось постоянным, в пределе получим выражение (55.8) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
§ 56. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции
1. Теореме о циркуляции можно придать дифференциальную форму, эквивалентную интегральной форме (55.4) или (55.5). С этой целью применим теорему о циркуляции к бесконечно малому прямоугольному контуру A BCD со сторонами dy и dz, плоскость
§ 56{
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ О ЦИРКУЛЯЦИИ
239
которого перпендикулярна к оси X (рис. 152). Вклад в циркуляцию, вносимый стороной АВ, равен Ву (х, у, z) dy. Противоположная сторона CD вносит в циркуляцию слагаемое — Ву (х, у, z + dz) dy. Сумма этих величин равна
— Ви(х, у, z + dz)dy +
+ Ву (х, у, z)dy —
дВ
дВп
= -~Wdydz=--7^dS>
OZ
где dS = dy dz — площадь прямоугольника A BCD. Аналогично, стороны ВС и AD вносят в
дВ
циркуляцию слагаемое -=—¦ dS. Полная циркуляция будет
'дВ. дВ,,'
ду
Bxds =
ду
dz
dS.
По теореме о циркуляции та же величина равна 4njx dS/c, так как jx dS есть полный ток, пронизывающий контур ABCD. Приравнивая оба выражения, придем к уравнению
4л
І*'
Аналогично,
дВг дВу
' ду dz
дВх дВг
dz дх
дВу дВх
дх ду
__ 4л .
дх~ ~ Ь*
4л .
~~ги-
Умножив эти уравнения на координатные орты ех, еу, ez и сложив, получим
TotB = ^j. (56.1)
Это — одна из важнейших формул в учении об электричестве. Символом rot В обозначен вектор
дВг
+
dz
дВу
~дх~
дВ2
дву\ - , I дВх
е* + [ дг дх
еу +
дВх
ду
ег.
(56.2)
Дифференциальное выражение (56.2) играет важную роль во многих разделах математики и физики. Оно называется ротором вектора В. Формально rot В можно рассматривать как векторное
240
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. Ш
произведение дифференциального оператора
дх
+ е1
на вектор В, т. е.
rotfi = [Vfi]:
д + &Z Э
'W дг
ех еу ег
д д д
дх ду дг
Вх By вг
(56.3)
2. Векторные поля, ротор которых не равен нулю, называются вихревыми полями. Формула (56.1) показывает, что магнитное поле В является вихревым во всех областях пространства, где текут электрические токи, и безвихревым, где токов нет. В последнем случае вектор В может быть представлен в виде градиента магнитного потенциала. Такое представление, однако, невозможно в тех областях, где текут токи. Там понятие магнитного потенциала лишено смысла. Действительно, из соотношений (18.4) и (56.2) нетрудно получить тождество
rot grad ф == 0,
(56.4)
какова бы ни была функция ф. Если бы магнитное поле представлялось выражением В = —grad фт, то из этого тождества мы получили бы rot В — 0. Следовательно, плотность тока j должна была бы обращаться в нуль, как это следует из сравнения соотношения rot В — Ос формулой (56.1). Это и доказывает наше утверждение.
Основные уравнения магнитного поля постоянных токов в вакууме могут быть записаны в виде
rot B = ~J, divfi = 0. (56.5)
Сравним их с основными уравнениями электростатического поля в вакууме:
rot? = 0, div? = 4n:p. (56.6)
Из этих уравнений видно, что электростатическое поле всегда потенциально, его источниками являются неподвижные электрические заряды. Магнитное поле, напротив, не потенциально, а соле-ноидально, его источниками служат электрические токи.
3. Приведем в заключение математическую теорему Стокса (1819—1903), широко используемую в математических преобразованиях теории поля. Эта теорема гласит:
ф (Л ds) = ^ (rot A dS), (56.7)
где А — произвольный вектор. Интеграл слева берется по произвольному замкнутому контуру s, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот
контур. Имея в виду прием, указанный на рис. 144, достаточно доказать формулу
ПОЛЕ ТОКА И МАГНИТНОГО ЛИСТКА
241
(56.7) для бесконечно малого контура. Бесконечно малый контур можно рассматривать как плоский. Пусть п — единичная нормаль к плоскости такого контура,
я N —единичная нормаль к самому контуру, лежащая в его плоскости (рис. 153).
Введем вектор С =[Ап], получающийся из А путем поворота вокруг нормали п. Ясно, что вектор С лежит в плоскости контура. Применим к нему математическую формулу Гаусса—Остро,градского
§ (CN) ds = j div С dS.
показать, что div С = div [ An] = п rot А. того,
(CJV)=[Ari} W= A [ftJV] = (Ax),
где т = [|*ЛЛ — единичный вектор касательной к контуру s. В результате получим
<§> (Ах) ds — J (ti rot A) dS,
что и доказывает теорему. Из доказанного следует:
> (Л ds)
Легко
Кроме
rot.
А= lim -
S — о
(56.8)
Этим дэется инвариантное определение проекции ротора] А на направление произвольного вектора п, а следовательно, и инвариантное определение самого 'ротора.
