Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
МАГНЕТИЗМ АТОМОВ
219
предеде.ны одинаково. Но, конечно, результат получится иной, если, например, заряд будет находиться в центре, а масса равномерно распределена по объему шарика.
5. Теперь следует классические представления заменить квантовыми. В квантовой механике формула (35.5) не может служить определением магнитного момента, поскольку не существует никакого состояния частицы, которое характеризовалось бы и ее точным положением г, и ее точным импульсом р. Как и в случае углового момента, от классической формулы
(35.5) квантовая механика переходит к операторному соотношению
™ = (35.Э)
или
tu = rZ. (35.10)
Изучение магнитного момента частицы тем самым сводится к изучению свойств оператора nt. Поскольку операторы tit и /^отличаются только постоянным множителем, их свойства совершенно аналогичны. В частности, оператор ttt, как и L, совершенно не зависит от выбора начала координат. Магнитный и угловой моменты квантуются по одинаковым правилам. Составляющие магнитного момента на любые два различных направления не могут одновременно иметь определенные значения. В стационарном состоянии определенные значения могут иметь квадрат магнитного момента и одна из его проекций на координатные оси. За таковую обычно принято принимать ось Z. Из формул (35.8) и (35.10) для орбитального движения электрона непосредственно вытекает
тг = _2^іг==:“га|іт’ (35Л1)
где
тБ == = 9,274 • 10-21 эрг • Гс"1. (35.12)
IgC
Постоянная тБ носит название магнетона Бора. Магнетон Бора можно рассматривать как квант магнитного момента (точнее, его проекции на избранное направление).
Возможен другой способ вывода формулы (35.11). Из временного уравнения Шредингера получают уравнение непрерывности dp/dt 4- div / = 0, где р и /' — плотность вероятности н плотность тока вероятности. По значению последней и по волновой функции находят плотность вероятности электрического тока в стационарном состоянии атома, а затем непосредственным интегрированием находят и средний магнитный момент, создаваемый этим током. Этот прямой способ рассуждения обладает тем принципиальным недостатком, что плотность тока вероятности / определяется нерелятивистским уравнением Шредингера не однозначно: к полученному выражению можно добавить любое слагаемое вида rota (поскольку divrota = 0), не меняя значения полного потока вероятности через любую замкнутую поверхность, который только
220
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
и доступен наблюдению. Плотность самого электрического тока в атоме, в отличие от потока вероятности, конечно, — величина наблюдаемая, ио для ее однозначного определения одного нерелятивистского уравнения Шредингера недостаточно. Неоднозначность можно устранить, но для этого надо перейти К релятивистской теории. В самом деле, величина р по своему смыслу есть величина однозначная. А в релятивистской теории скаляр р и три компоненты вектора / объединяются в один релятивистски инвариантный четырехмерный вектор, временной компонентой которого является р.
§ 36. Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона
1. Наличие у атомов магнитных моментов и их квантование было доказано прямыми опытами Штерна и Герлаха (1889— 1979) в 1921 г. В сосуде с высоким вакуумом создавался с помощью диафрагм В и В' (рис. 64) резко ограниченный атомный
пучок исследуемого элемента, испаряющегося в печи К. Пучок проходил через сильное магнитное поле Н между полюсными наконечниками N и S электромагнита. Один из наконечников (N) имел вид призмы с острым ребром, а вдоль другого (S) была выточена канавка. Благодаря такой конструкции полюсных наконечников магнитное поле получалось сильно неоднородным. После прохождения через магнитное поле пучок попадал на фотопластинку Р и оставлял на ней след.
Рассчитаем поведение атомного пучка сначала с классической точки зрения, предполагая, что никакого квантования магнитных моментов нет. Если m—магнитный момент атома, то на атом в неоднородном магнитном поле действует сила
f = (my) Н
Направим ось Z вдоль магнитного поля (т. е. от N к S перпендикулярно к полюсным наконечникам). Тогда проекция силы в этом направлении будет
Рис. 64
дНг
fz = mx^f + my
дНг
ду
дНг
дг
Первые два слагаемых в этом выражении не играют роли. В самом деле, по классическим представлениям атом в магнитном поле совершает прецессию вокруг оси Z, вращаясь с лар-моровской частотой
Q = — еЯ/2цс
ОПЫТЫ ШТЕРНА И ГЕРЛАХА. СПИН ЭЛЕКТРОНА
22!
(заряд лектрона обозначен —е). Поэтому проекции тх и пи, совершают колебания с той же частотой, становясь попеременно то по лож; тельными, то отрицательными. Если угловая скорость прецессии достаточно велика, то силу fz можно усреднить по времени. При этом первые два члена в выражении для fz обратятся в нуль, и можно написать
' = (36.1)
Чтобы составить представление о степени допустимости такого усреднения, произведем численную оценку. Период лармо-ровской прецессии равен
2л 4лцс 7 • 10-7
Т ~ Т^Т ~~ Н С’
где поле Н измеряется в гауссах. Например, при Н = 1000 Гс получаем т»7-10-10 с. Если скорость атомов в пучке равна v= 100 м/с = 104 см/с, то за это время атом пролетает расстояние х « 7-Ю-6 « 10~5 см, пренебрежимо малое по сравнению со всеми характерными размерами установки. Это и доказывает применимость проведенного усреднения.
