Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
27), то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой.
В каждой точке орбиты установится неизменный колебательный режим во времени и не возникнет излучения. В этом случае орбита получится стационарной.
Если же указанное условие не выполняется, то при обходе вокруг ядра фаза и амплитуда волны не возвратятся к своим исходным значениям— стационарного состояния не получится. Исходя из этих соображений^ де Бройль записал условие стационарности орбиты, или правило квантования, в виде
2nR/X = n, (17.11)
где R— радиус круговой орбиты, а п — целое число (главное квантовое число). Полагая здесь \ = h/p = 2nh/p и замечая, что L = Rp есть момент количества движения электрона, получим
L = nfi, (17.12)
что совпадает с условием (13.6). В этом де Бройль видел успех своей концепции фазовых волн. В дальнейшем условие (17.11) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны К меняется вдоль траектории электрона. Казалось, что это еще больше усиливало успех теории.
На самом деле этот успех призрачный. В рассуждении
де Бройля предполагается, что волна распространяется не в
пространстве, а вдоль линии — вдоль стационарной орбиты электрона Такая идеализация соответствует приближению
98
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. ІП
геометрической (лучевой) оптики. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны Я пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона, т. е. при больших квантовых числах. А тогда проблема квантования несущественна. Чтобы действительно получить существенно новое, надо заменить геометрическую оптику волновой. Это и было сделано Шредингером.
5. К полученным результатам можно прийти и другим путем. Для этого введем показатель преломления ц волн де Бройля — важную величину, имеющую и самостоятельное значение. Пространство, в котором распространяется волна де Бройля, условимся называть средой. Если в среде нет силового поля, то среда будет однородной. Показатель преломления среды может быть определен лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, так как для преломления фазовых волн на границе раздела двух сред имеет значение только отношение показателей преломления этих сред. Во всякой волновой теории ц обратно пропорционален фазовой скорости волны. В случае волн де Бройля ~ 1/иФаз = v/c2. Опуская постоянный множитель, можно принять
(1 = 0. (17.13)
Определяемый этой формулой показатель преломления условно будем называть абсолютным. Формула (17.13) сохраняет смысл и в том случае, когда скорость частицы и меняется от точки к точке, т. е. при наличии силовых полей. Скорость о, а с ней и ц в каждой точке однозначно определяются уравнением энергии $ -f U — const, в котором предполагается, что потенциальная функция U зависит только от координат, но не зависит явно от времени.
В предельном случае коротких длин волн распространение последних происходит вдоль независимых линий или лучей (см. т. IV, § 6). Этот случай называется геометрической или лучевой оптикой. Распространение волнового возмущения вдоль лучей формально аналогично движению частицы классической механики по траекториям. Радиус кривизны R луча или траектории частицы определяется формулой
Т = Ж(1п,1)==Ж(1п0)’ (17Л4)
где дифференцирование производится в направлении главной нормали N к лучу или траектории (см. т. IV, § 4). Эта формула, конечно, может быть использована (вместо уравнений Ньютона) для определения формы луча или траектории частицы.
Вернемся теперь к выводу правила квантования, данному ле Бройлем. Условие применимости геометрической оптики к
ГИПОТЕЗА ДЕ БРОПЛЯ
99
движению электрона вокруг ядра атома выражается формулой
| Я d\i./dr ]<С|ьі, т. е. | A dv/dr 1<Си.
Подставив сюда к = 2nh/p, jj = v и ограничиваясь нереляти-вистским приближением, запишем это так:
| 2яй dv/dr |<сри == 2К, (17.14а)
где К — кинетическая энергия электрона. Скорость v найдется из уравнения энергии
Отсюда находим
mw2 Ze2 „ ,
—х------------= 0 = const.
2 г
dv Ze ,,
mvr —r- =----------------— = U,
dr . r
где U — потенциальная энергия. Если электрон движется по окружности, то mvr — nh, а потому
nh^L = U = $-K = -2K,
так как при движении по окружности I? -)-/(= 0. Сопоставляя полученное соотношение с неравенством (17.14а), находим
га»2я,
т. е. квантовое число п должно быть большим в согласии с тем, что было установлено выше.
6. Все изложенное представляет собой чисто умозрительное, гипотетическое построение, а потому не имеет доказательной силы. Истинное доказательство или опровержение полученных результатов может дать только опыт. В каких же явлениях природы могут проявиться волновые свойства вещества, если они действительно существуют? Независимо от физической природы волн сюда относятся явления интерференции и дифракции. Непосредственно наблюдаемой величиной в них является длина волны X. Во всех случаях длины волн де Бройля определяются
формулой (17.4). Применим ее к нерелятивистскому движению
частиц.
Для электронов, ускоренных разностью потенциалов V, импульс определяется формулой p = -\f2mveV, так что в абсолютной системе единиц
