Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ
95
Пусть частица движется в свободном пространстве с постоянной скоростью V. Де Бройль предположил, что с такой частицей связана какая-то плоская монохроматическая волна
Чг = iiroei<*r-G>f)) (17Л)
распространяющаяся в направлении скорости и1). О природе этой волны, т. е. о физическом смысле функции Чг, де Бройль не мог сказать ничего определенного. Отвлечемся временно и мы от обсуждения этого вопроса. Волны типа (17.1) получили название фазовых волн, волн вещества или волн де Бройля.
Попытаемся установить рациональную связь между корпускулярными и волновыми характеристиками частицы, которая совсем не зависит от физической природы величины Чг. Будем руководствоваться требованием, чтобы эта связь была релятивистски инвариантна. Корпускулярные свойства частицы характеризуются ее энергией 8 и импульсом р, волновые — частотой со и волновым вектором к. Под 8 мы будем понимать полную энергию частицы в смысле теории относительности. Она определяется однозначно требованием, чтобы энергия и импульс образовывали четырехмерный вектор (8/с,р) (см. т. IV, § 111, пункт 3). Частоту со определим из требования, чтобы фаза волны со^ — kr была релятивистски инвариантна (см. по этому поводу § 19, пункт 9). Тогда со и ft будут образовывать четырехмерный вектор (со/с, k). Если потребовать, чтобы временные и пространственные компоненты четырехмерных векторов (8/с,р) и (а/с, k) были пропорциональны друг другу, то получатся релятивистски инвариантные соотношения
<Г = Й со, (17.2)
p = fik. (17.3)
Они будут совпадать с соответствующими соотношениями для фотонов, если для всех частиц h положить равной постоянной
Планка, что мы и сделаем. Такой выбор h логически не необ-
ходим, а оправдывается последующими результатами. Соотношения (17.2) и (17.3) и были постулированы де Бройлем.
Во всякой инерциальной системе отсчета волновой вектор k определен абсолютно однозначно, поскольку соотношением
(17.3) он однозначно выражается через импульс частицы р = = mv. Напротив, соотношение (17.2) такой абсолютной однозначностью не отличается. Здесь однозначность навязана искусственно— требованием, чтобы 8 и со были временными
’) В оптике монохроматическая волна записывалась в виде е1^-Ьг\ Сейчас мы употребляем комплексно сопряженное выражение el<ftr ~at\ Оба способа написания совершенно равноправны. Но в квантовой механике укоренилось написание волны именно в форме (17.1). Однако независимо от способа написания под фазой волны следует понимать выражение сot — kr.
96
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. Ill
компонентами четырехмерных векторов. В принципе же энергия определена всегда с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Мы увидим далее (см. § 19), что и частоту со можно переопределить так, чтобы она также содержала аддитивгшо постоянную.
3. Рассмотрим некоторые свойства волн де Бройля, вытекающие из соотношений (17.2) и (17.3). Прежде всего из (17.3) получаем выражение для длины волны де Бройля:
л = 2л/? = 2 nhlp = h/p. (17.4)
Эта величина в каждой инерциальной системе отсчета определена однозначно.
Для фазовой скорости волн де Бройля формулы (17.2) и
(17.3) дают
1>Ф = соIk —8/р. (17.5)
В релятивистской теории 8 — тс2, p — mv, где v — скорость частицы, а т — релятивистская масса. В этом случае
оф = c2/v. (17.6)
Поскольку всегда v ^ с, отсюда следует, что Оф ^ с. Для фотонов в вакууме v — с, а потому в этом случае Оф = с. Полученный результат не должен нас смущать, поскольку на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. К тому же в дальнейшем будет показано, что, согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, так как эта интерпретация относит ее к числу принципиально ненаблюдаемых величин.
Принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля
угр = d(s)/dk = d8 fdp. (17.7)
Эта величина не содержит никакой неопределенности, поскольку не только dp, но и приращение энергии d8 определены однозначно. При любой скорости движения частицы d8 = v dp, так что всегда
vrp = v, (17.8)
т. е. групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы. Заменив теперь в формуле (17.6) v на vTP, получаем
^Ф«гр = с2. (17.9)
Формально можно образовать величину, аналогичную длине волны де Бройля (17.4). Для этого заметим, что длина четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Аіинковского равна л/(8/с)2— р2. Это есть инвариант, равный
ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ
97
т0с, где т0 — масса покоя частицы. Поделив на него постоянную Планка h, получим инвариантную величину
A-к = h/m0c, (17.10)
имеющую размерность длины. Она представляет собой комп-тоновскую длину частицы. Таким образом, формально Хк. можно рассматривать как длину волны де Бройля, которой соответствует величина импульса, равная инвариантной длине четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского.
4. Де Бройль использовал представление о фазовых волнах для наглядного толкования таинственного правила квантования Бора (13.6) в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на орбите длина волны К укладывается целое число раз (рис.
