Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
СПЕКТР ВОДОРОДА
69
вания для водородного атома, приводящее к правильным результатам. Проблема квантования в общем виде была сформулирована в квантовой механике, и притом не только для водородного атома, но и для любых атомных систем (см. § 22). Она довольно сложна. Правило квантования Бора представляет только исторический интерес. Тем не менее полезно привести простое решение задачи о квантовании для атома водорода или водородоподобного атома, близко примыкающее к идеям Бора. В основе такого решения лежит аналогия с классической механикой и эмпирически установленное выражение для спектральных термов атома водорода.
Примем, что спектральные термы и соответствующие им уровни энергии атома водорода имеют бальмеровский вид:
где R— постоянная Ридберга, а зарядовое число Z ядра введено ради удобства. Целое число п называется главным квантовым числом. С возрастанием п соседние уровни энергии атома сближаются, и при п -*¦ оо расстояние между ними стремится к нулю. Дискретность энергетического спектра становится все менее и менее заметной. Поэтому можно ожидать, что в таком предельном случае квантовая система будет вестн себя, как классическая. Это положение было выдвинуто Бором и названо им принципом соответствия.
Принцип соответствия позволяет выразить постоянную Ридберга R через фундаментальные постоянные, характеризующее атом. Для общности будем рассматривать водородоподобнып атом. Так называется ион с зарядом ядра -\-Ze, вокруг которого вращается один электрон. При Z = 1 он переходит в обычный нейтральный атом водорода Н, при Z = 2 — в однократно ионизованный атом гелия Не+, при Z = 3 — в дважды ионизованный атом лития Li++ и т. д. Разумеется, наше рассуждение будет предполагать справедливость выражения (13.2) и для водородоподобного атома. Одинакова ли постоянная Ридберга для различных водородоподобных атомов — это будет выяснено в дальнейшем.
2. Для простоты Бор принял, что электрон вращается вокруг ядра по окружности. Позднее Зоммерфельд (1868—1951) обобщил рассуждения Бора иа случай эллиптических орбит. Однако с появлением квантовой механики это обобщение потеряло значение, и мы его рассматривать не будем. Ограничимся более простым случаем круговых орбит. По классическим представлениям частота излучаемого света равна частоте обращения электрона по круговой орбите. Для низких частот это безусловно верно, как показывает сравнение классической теории с опытом
Tn = Z2Rln2,
<$ п = — chi п = — chZ2R/n2,
(13 1) (13.2)
70
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И СПЕКТРЫ АТОМА
[ГЛ. II
в области радиодиапазона. К таким частотам и относятся приводимые ниже вычисления. Здесь частоты, вычисленные по квантовой и классической теориям, должны совпадать, как этого требует принцип соответствия. Ядро мы будем считать бесконечно тяжелым, а потому неподвижным. При вращении по окружности радиуса г с циклической частотой со
mco2r = Ze2/r2, (13.3)
откуда со = Ze2/(Lr), где L = тг2со — момент количества движения электрона. Полная энергия электрона слагается из кинетической и потенциальной и равна
з, 1 22 Ze2 Ze1
$ = -mrW---------г =-------
Следовательно, по классической теории должно быть
со = — 2 S/L. (13.4)
С другой стороны, уровни энергии водородоподобного атома должны иметь бальмеровский вид (13.2). Отсюда следует, что при переходах атома с одного уровня на другой величина &пп2 должна сохраняться: Snti2 — const. Поэтому при больших квантовых числах п и малых их изменениях Ап должно выполняться соотношение
&п я
Отсюда с учетом правила частот Бора AS — йсо получается
00 =Ап, (13.5)
причем у 8 мы опустили индекс п и считаем Ап > 0, чтобы не вводить отрицательных частот. Наименьшая частота соответствует переходу А/г = 1. Это — основная частота. Значениям Д/г = 2, 3, ... соответствуют ее гармоники, или обертоны. По принципу соответствия основная частота в формуле (13.5) должна совпадать с классической частотой (13.4). Это возможно только тогда, когда
L = nti. (13.6)
Значит, по теории Бора момент количества движения, по крайней мере при больших квантовых числах п, квантуется, т. е.
может принимать только избранные значения (13.6),
Из формулы (13.3) теперь получаем
(тг2 со)2 = Ze2rm = (nh)2.
Отсюда
г — n2Ti2l(Ze2m), (13.7)
СПЕКТР ВОДОРОДА
71
а следовательно,
gn = _ Ze2/2r = - (Ze2)2 m/2h2n2. (13.8)
Сравнением этой формулы с (13.2) находим
=ет-=^5^= 109 737’309 ±0Д2 см~1 • (13-9)
Мы снабдили R индексом оо, чтобы указать, что при получении формулы (13.9) масса ядра М считалась бесконечной, а само ядро неподвижным. В этом приближении постоянная Ридберга одинакова для всех водородоподобных атомов.
Теоретическое значение постоянной Ридберга (13.9), хотя и очень близко к экспериментальному значению для атомов водорода RH = 109 677,576 см-1, но при спектроскопической точности измерений их различие все же очень велико. Оно связано с тем, что при выводе формулы (13.9) не учитывалась конечность массы ядра М. Чтобы учесть это, надо массу электрона т заменить на приведенную массу Мт/(М-\-т). Тогда получится
* = тйтм- (13.10)
