Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Кеплера (1571 —1630) о движении планеты вокруг Солнца. И тут и там сила взаимодействия тел — центральная и меняется обратно пропорционально квадрату расстояния хду ними В случае планеты это сила притяжения, в случае а-частицы —
ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА И ОПЫТЫ РЕЗЕРФОРДА
53
сила отталкивания. Это проявляется в том, что планета (в зависимости от ее полной энергии) может двигаться и по эллипсу, и по гиперболе, а а-частица — только по гиперболе. Но в математических вычислениях это не имеет значения. Угол рассеяния а-частицы д равен углу между асимптотами ее гиперболической траектории (рис. 18). Для него была получена формула
. 0 mbv2 .,
ctgT=-w <9Л>
(см. т. I, § 58). Здесь т — масса а-частицы, v — ее скорость в «бесконечности», т. е. вдали от ядра, Ze — заряд ядра, 2е — заряд а-частицы, равный удвоенному элементарному заряду е. (Число Z называется зарядовым числом ядра. Ради краткости его часто называют просто зарядом ядра, подразумевая, что за единицу принят элементарный заряд е.) Через b обозначено прицельное расстояние, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из ядра на невозмущенную прямолинейную траекторию а-частицы (или, что то же самое, на касательную к реальной траектории, когда а-частица находилась бесконечно далеко от ядра).
4. Экспериментальной проверке в области атомных явлений, разумеется, доступна не сама формула (9.1), а статистические следствия из нее. Введем так называемое дифференциальное эффективное сечение рассеяния. Обозначим через / интенсивность плоскопараллельного пучка а-частиц, налетающих на ядро, т. е. число а-частиц пучка, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к потоку. Из этого числа через элементарную площадку da, также перпендикулярную к потоку, прохоаит dN\=Ida а-частиц. После рассеяния эти частицы попадают в элементарный телесный угол dQ. Конечно, величина телесного угла dQ и направление его оси определяются величиной и положением площадки da. Поэтому dN\ имеет также смысл числа а-частиц, рассеиваемых ядром в единицу времени в телесный угол dQ. Отношение dN\ к / равно da и имеет размерность площади. Оно и называется дифференциальным эффективным сечением ядра для рассеяния а-частиц в телесный угол dQ. Это понятие применяется к рассеянию не только а-частиц, но и любых частиц, а также к другим процессам, происходящим с частицами. Таким образом, по определению
A (IN,
do = —rL,
(9.2)
54
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И СПЕКТРЫ АТОМА
[ГЛ. II
т. е. дифференциальное эффективное сечение рассеяния есть отношение числа частиц, рассеянных атомом в единицу времени в телесный угол dQ, к интенсивности I падающих частиц.
Определим теперь дифференциальное сечение для рассеяния а-частиц на отдельном ядре атома. Задача сводится к определению величины площадки do, пройдя через которую а-частица после рассеяния попадает внутрь заданного телесного угла dQ. Возьмем за ось X прямолинейную траекторию той а-частицы, которой соответствует прицельное расстояние Ь= О (такая частица испытала бы с ядром лобовое столкновение). Используя цилиндрическую симметрию, для упрощения заменим da на кольцевую площадку da = 2nb db, перпендикулярную к потоку. Внутренний радиус такой площадки равен Ь, наружный b + db, а центр расположен на оси X (рис. 18, слева вверху). Интервалу b, b + db соответствует интервал углов рассеяния ft, ft + db, причем по формуле (9.1)
Введя телесный угол dQ = 2л sin ft dft, в который рассеиваются а-частицы, прошедшие через кольцевую площадку, нетрудно получить
В таком виде формула (9.3) справедлива для любой элементарной площадки da, а не только для кольцевой. Она и называется формулой Резерфорда (см. задачу 3 к § 20).
5. Прежде чем пойти дальше, введем понятие полного сечения рассеяния или какого-либо другого процесса. Оно определяется как отношение полного числа частиц, претерпевших рассматриваемый процесс в единицу времени, к интенсивности падающего пучка частиц. Полное сечение о может быть получено из дифференциального сечения da путем интегрирования его по всем возможным значениям dQ. В случае рассеяния а-частиц в формуле (9.3) следует сначала положить dQ = = 2л sin ftdft, а затем выполнить интегрирование в пределах от ft = 0 до ft = я (см. задачу 2 к этому параграфу). Это дает а = оо. Результат этот понятен. Чем дальше площадка da удалена от оси X, тем меньше угол рассеяния ft. Частицы, проходящие через удаленные площадки, практически не отклоняются, т. е. проходят в окрестности угла рассеяния ft = 0. Суммарная площадь таких площадок, а с ней и полное число рассеянных частиц бесконечно великії. Бесконечно велико и полное поперечное сечение рассеяния. Впрочем, этот вывод имеет формальный характер, так как при малых углах рассеяния формула Резерфорда (9.3) неприменима.
Ze2 rift
mv2 sin2 (ft/2)
(9.3)
ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА И ОПЫТЫ РЕЗЕРФОРДА
55
6. Приведем теперь формулу (9.3) к виду, доступному для экспериментальной проверки. Акты рассеяния а-частиц различными атомами независимы. Отсюда следует, что если п — число ядер (атомов) в единице объема, то число а-частиц, рассеиваемых объемом V в единицу времени в телесный угол dQ, определяется выражением
