Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отражение и преломление света в корпускулярной теории Ньютона рассматривалось на основе классической ньютоновской механики. К фотонам классическая механика неприменима. Пр ирода фотонов — двойственная. При распространении они ведут себя как волны и только при взаимодействии с веществом проявляют свойства частиц. А поскольку отражение и преломление являются специальными случаями распространения света, фотонная теория при рассмотрении этих явлений должна приводить к тем же результатам, что и классическая волновая теория.
2. Этот вопрос заслуживает более подробного рассмотрения, которое и приводится ниже. В среде, как и в вакууме, можно ввести представление о распространении света в виде фотонов. При этом среду мы будем считать неподвижной. Иными словами, будем рассматривать явления в системе отсчета, относительно которой среда неподвижна. Такая система является выделенной, или привилегированной. Вопрос заключается в том, каковы энергия и импульс фотона в среде? Заметим, что энергия и импульс фотона слагаются из энергии и импульса электромагнитного поля и среды. Но в нашем рассмотрении идет речь о сумме этих величин, т. е. о полных энергии и импульсе, связанных с распространением фотона в среде. Среду мы будем считать изотропной и характеризовать ее свойства показателем преломления п(со).
38
КВАНТЫ СВЕТА
[ГЛ. I
По фотонным представлениям при отражении и преломлении общее число фотонов не меняется. Если граница неподвижна, то не меняются и энергии отраженного и прошедшего фотонов. Докажем это утверждение сначала для отражения, предполагая, что фотон падает на среду из вакуума. Энергия падающего фотона <8е = fro), т. е. однозначно определяется частотой
оз. Такое же соотношение между энергией и частотой должно существовать и для отраженного фотона, поскольку он распространяется в таком же вакууме, как и падающий фотон. Но при отражении от неподвижной границы частота оз не меняется. В противном случае происходило бы изменение цвета отраженного луча, чего на самом деле не происходит. Таким образом, энергия отраженного фотона <gг также равна Ніл, т. е. <§г=8е-
3. Для прошедшего фотона указанное утверждение не столь очевидно. Чтобы его доказать, рассмотрим плоскопараллельный пучок, состоящий из Ne монохроматических фотонов, падающий из вакуума под любым углом на неподвижную границу среды. Пусть число отраженных фотонов будет Nr, прошедших Nd, а соответствующие им энергии <$, и <В d. По закону сохранения энергии
Ne&e = Nr&r + Nd&d. (5.1)
Условие сохранения общего числа фотонов:
Ne^Nr + Nd. (5.2)
Наконец, по доказанному <?, = ёе. Отсюда получается &<)=¦ = &е, что и требовалось доказать. Таким образом, и для фотонов в среде справедливо соотношение 8 = Ніл.
Рассмотрим теперь импульс фотона в среде. Как и в случае энергии, можно написать
Nepe = Nrpr -f- Ndpd, Ne = Nr + Nd, (5.3)
где индексы e, r, d относятся к падающему, отраженному и прошедшему фотонам. Рассмотрим сначала поведение касательных составляющих импульсов. Направим ось X вдоль границы раздела, а ось Z — перпендикулярно к ней. Любая теория должка приводить к закону отражения, из которого следует, что ре* — ргх- Но тогда для рех, ргх, pdx получается в точности такая же система уравнений, как и для соответствующих энергий. Из нее находим
Рех ~ Ргх = Pdx’ (5.4)
т. е. касательные составляющие импульсов всех трех фотонов одинаковы.
Совсем иначе ведут себя нормальные составляющие. В этом случае по-прежнему
NePez NrPrz “f" ^dPdz'
ФОТОНЫ Ё СРЕДЁ
39
Однако если падающий фотон приближается к среде, то отраженный удаляется от нее, так что prz = — Pez- В результате получится
(Nе “Ь Nг) pez N
или
(Ne + Nr) pez = (Ne — Nr) pdz,
или, наконец,
___ Ne + Nr cos ф
Pd Ne — Nr cos a|) ^e'
где ф — угол падения, а \|з — угол преломления.
Конечно, связь между ра и ре определяется свойствами среды и не может зависеть от характера поляризации падающего света. Это позволяет упростить вычисления. Предположим, что падающий свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения. Тогда электрические векторы всех фотонов будут колли-неарны, так что на основании формулы Френеля
Nr ___ п cos 1)3 — cos ф
Ne п cos а|) + cos ф
(см. т. IV, § 65). Действительно, в монохроматической волне все фотоны когерентны, и поэтому Nr/Ne дает отношение амплитуд, а не интенсивностей отраженной и падающей волн. Выбор знака в последней формуле определен из тех соображений, что числа фотонов Nr и Ne существенно положительны. В результате получается
Pd = пре (5.5)
4. Резюмируя изложенное, приходим к заключению, что, как и в вакууме, энергия и импульс фотона в веществе определяются формулами
& — fico, р = tik. (5.6)
Однако в веществе волновое число
k = псо/с, (5.7)
т. е. в п раз больше, чем в вакууме. Если ввести фазовую скорость v = с/п и длину волны X — 2ли/со в рассматриваемой среде, то получатся формулы
k = со/у = 2яД, (5.8)
одинаково применимые к вакууму и веществу, так как в вакууме V = с. Связь между энергией и импульсом фотона в среде
принимает вид
g = pV = рс/п. (5.9)
