Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение (4.4) было получено без использования каких бы то ни было квантовых представлений. При его выводе использовались только законы сохранения энергии и импульса,
ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
справедливые как в классической, так и в квантовой физике. Примем теперь, что излучение происходит в форме фотонов. Предположим, что испущен один фотон. Если частоту фотона в системе отсчета, в которой излучатель движется (т. е. в рассматриваемой нами инерциальной системе отсчета), обозначить через v', то <Гизл = hv'. Частоту же излучения в системе отсчета, где излучатель покоится, обозначим через v. Тогда, рассматривая процесс испускания в такой системе, можно написать
S — S' — hv, так как в этой системе изменение внутренней энергии излучателя происходит только за счет испускания светового кванта. Подставляя эти выражения в соотношение (4.4) и сокращая на h, получим
v' =------?----• (4.5)
1----cos О
с
Эта формула верна только в первом порядке, т. е. с точностью до членов первой степени относительно v/c, так как она была получена на основе нерелятивистской механики. Поэтому вместо формулы (4.5) с той же точностью можно пользоваться формулой
v' — v (l + -^-cos ft) . (4.6)
2. Получим теперь для эффекта Допплера релятивистскую формулу, которой можно пользоваться уже при любых значениях скорости V. В этом случае нет смысла разделять полную (релятивистскую) энергию тела на кинетическую и внутреннюю. Под S и S' мы будем теперь понимать полные энергии тела в рассматриваемой инерциальной системе отсчета до и после испускания света соответственно. Соответствующие энергии покоя тела до и после испускания обозначим через S0 и S'v Снова будем оперировать с энергиями и импульсами, вводя квантовые представления лишь на заключительном этапе вычислений.
Законы сохранения энергии и импульса при испускании света удобно записать в форме
g' = S-SHзл, р' = р-разл- (4.7)
Возведем оба равенства в квадрат, умножив предварительно второе из них на с, а затем вычтем почленно. С учетом соотношений
^2_(рс)2==^2 _ i'pVi2 = S'2, S =ср
! О7 г 0 9 изл ^изл
получим
< = S* - 2SSll3Ji + 2сУряза.
36
КВАНТЫ СВЕТА
[ГЛ. X
Учтем теперь, что
p = mv = {&ІС1) v — <ЁГр/с,
где р = v/c. Тогда
- < = 2<Г<Гизл (1 - р cos д), (4.8)
или
&0 + &0
Здесь, как и прежде, ft означает угол между направлением движения излучающего тела и направлением распространения излучения. Если масса тела велика, то в знаменателе последнего соотношения можно положить &’' = &’а. Учтя еще, что
S’ — — р2, придем к соотношению
(<Г0 - ?Г') V1 — Э2 = #изл (1 - Р cos Ф). (4.9)
Теперь воспользуемся квантовыми соотношениями <$Q — <§Гд =
— h\ и = совершенно такими же, как и в нерелятивистском случае. В результате и получим релятивистскую формулу для эффекта Допплера:
.. Vr^F
(4.10)
3. Обе формулы фотонной теории для эффекта Допплера, нерелятивистская (4.5) и релятивистская (4.10), совпадают с соответствующими формулами, которые дает классическая волновая теория света (см. т. IV, §§ 107, 108). Глубокая причина такого совпадения состоит в том, что в фотонной теории обе формулы получаются из соотношений (4.3) и (4.9). Эти же соотношения, поскольку они выведены из одних только законов сохранения энергии и импульса при испускании света, остаются справедливыми независимо от того, представляет ли свет непрерывные волны или состоит из отдельных фотонов. Единственное предположение квантового характера, которое было сделано при выводе формул для частоты испускаемого света, состоит в том, что энергия фотона однозначно определяется его частотой. Более того, связь между этими величинами должна быть специального вида: энергия фотона пропорциональна частоте света. Значение же коэффициента пропорциональности, т. е. постоянная Планка h, выпадает из окончательных формул для частоты колебаний. А то обстоятельство, что связь между
& и v должна быть именно такой, видно из того, что при преобразовании Лорентца величины 8 и v преобразуются одинаково. Только благодаря этому, как уже отмечалось выше, соотношение & = hv релятивистски инвариантно.
ФОТОНЫ В СРЕДЕ
37
Мы вернемся к эффекту Допплера в § 6, где предполагается, что источник света движется не в вакууме, а в среде с показателем преломления п.
§ 5. Отражение и преломление света в фотонной теории.
Фотоны в среде
1. В 19-м веке считалось, что опытом Фуко окончательно опровергнута корпускулярная теория света. Этот опыт доказал, что скорость света в воде меньше, чем в вакууме. Однако по волновой теории такое соотношение между скоростями относится к фазовой скорости света. В1 опыте же Фуко, если бы свет действительно представлял собой волны, измерялась групповая скорость (см. т. IV, § 108). Поэтому с чисто логической точки зрения аргументация физиков 19-го века должна быть дополнена указанием на то, что в опыте Фуко скорость света измерялась в практически недиспергирующих средах. В этом случае фазовая скорость совпадает с групповой. Заключение о несостоятельности корпускулярной теории остается верным, с той существенной оговоркой, что оно относится не к корпускулярной теории вообще, а к корпускулярной теории в форме Ньютона. Как же обстоит дело в фотонной теории Эйнштейна?
