Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
3. Фотон с длиной волны Я рассеялся на движущемся свободном электроне. В результате электрон остановился, а фотон отклонился от первоначального направления на угол 0. Найти изменение длины волны фотона V — X в таком процессе. Свести эту задачу к задаче о рассеянии фотона на непо движном электроне.
Ответ. У—X — —(2/i/mec)sin2(d/2). В результате рассеяния длина волны фотона уменьшается.
4. Гамма-квант с энергией hv рассеивается на неподвижном электроне. Найти направления рассеянного кванта, чтобы при взаимодействии с веществом он мог породить электрон-позитронную пару. Найти также предельное значение Фпред угла рассеяния, при котором этот процесс возможен для гам-ма-квантов очень высоких энергий.
ЗАДАЧИ
Ответ.
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
33
Ответ. Рассеянный гамма-квант может породить электрон-поэитрон-ную пару, если рассеяние происходит внутрь конуса
J ГУ)
COS Ф > — +
2 h\
Если же направление рассеяния лежит вне этого конуса, то рождение элек-трон-позитронных пар невозможно. Для квантов очень высоких энергий (/rv->-oo) пары могут образовываться, если угол рассеяния не превосходит Аїред = 60°.
5. Показать, что при взаимодействии с веществом фотон сколь угодно высокой энергии, испытавший комптоновское рассеяние на неподвижном электроне строго назад (Ф = л), не может породить электрон-позитронную пару.
6. Пусть v — частота фотона до комптоновского рассеяния на электроне в системе отсчета, где электрон покоится после соударения с фотоном, a v'— частота фотона после соударения в системе отсчета, где электрон покоился до соударения (т. е. в лабораторной системе). Показать, что v = v7 (теорема взаимности).
Решение. Обозначим большими буквами 9 и Ж четырехмерные импульсы электрона и фотона (р, ff/c) до соударения. Те же величины после соударения обозначим такими же буквами, но штрихованными. При упругом столкновении четырехмерный импульс системы фотон — электрон сохраняется:
9 + Ж = &' + Ж'.
Переписав это соотношение в виде 9 — Ж' = 9' — Ж и возведя его в квадрат, получим
^2 + ж,2 _ = р,г +
Квадрат 4-импульса частицы в пространстве Минковского ') есть инвариант. Для электрона он равен
йг>2 2 3=2 /2 ,1 op,2 /„2 2,2
іР =р — ее/с = р —e^jc = — т0с ,
где через т0 обозначена масса покоя электрона. Для фотона такой же инвариант равен нулю: Ж2 = 0 (так как масса покоя фотона равна нулю). Таким образом,
?Ж' = &>'Ж.
В системе отсчета, где электрон до столкновения- покоился,
9 = (0, ш0с), Ж' = (рф, /iv'/с), так что &Ж' = — m0Av'.
В системе же отсчета, где электрон покоится после соударения,
9' = (0, т^с), Ж = (рф, hv/c), 9і'Ж = — mQhv.
Отсюда v = v', что и требовалось доказать.
7. Показать, что частота фотона после комптоновского рассеяния в системе отсчета, в которой электрон покоится после соударения, равна частоте падающего фотона в лабораторной системе.
8. Показать, что при комптоновской рассеянии в системе отсчета, все время связанной с электроном, частоты падающего и рассеянного фотонов одинаковы, а импульсы равны по величине, но противоположно направлены.
]) Напомним, что в таком пространстве квадрат 4-вектора равен разности квадратов пространственной и временной составляющих. В скалярное произведение 4-векторов произведение временных составляющих также входит со знаком минус.
34
КВАНТЫ СВЕТА
[ГЛ. 1
§ 4. Эффект Допплера при движении источника света в вакууме с фотонной точки зрения
1. Фотоэлектрический эффект и эффект Комптона — типично квантовые явления, не допускающие классической трактовки. В этом и следующих трех параграфах рассматриваются, явления, которые допускают классическое и квантовое объяснения, согласующиеся между собой. Рассмотрим сначала эффект Допплера (1803—1853) в нерелятивистском приближении.
В'озьмем какую-либо инерциальную систему отсчета, в которой источник света массы М движется в вакууме со скоростью V. Энергия источника слагается из кинетической энергии 1 /гА1 и2 и внутренней энергии <% возбужденных атомов. При испускании света внутренняя энергия источника изменяется. Начальное значение ее обозначим через 8, конечное — через S'. Кроме того, из-за давления излучения источник испытывает отдачу— его скорость получает приращение (v' — v). По законам сохранения энергии и импульса
1/2Ми2 + S = V2Mu'2 + <Г + ^„зл> (4.1)
Mv = Mv' + ризл, (4.2)
где «Гизл и ризл — энергия и импульс излучения в рассматриваемой инерциальной системе отсчета.
Возведем второе уравнение в квадрат, разделим полученное соотношение на 2М и вычтем его из первого. Тогда получим
S — S' = S — v'p — р2 I2M,
ИЗЛ ^изл ^изл/ ’
или на основании (4.2)
& —vp + р2 /2М.
изл г изл 1 г'изт/
Если масса источника М велика, то последним членом в этом уравнении можно пренебречь. В этом приближении
S — S' = S изл — иризл. (4.3)
В этом соотношении можно еще исключить импульс излучения. Излучение — существенно релятивистский объект. Для него импульс выражается через энергию соотношением р„зл = &нзл/с. Подстановка этого выражения в предыдущее уравнение дает
ёГ-#' = #ИЗЛ( l-|cosfl), (4.4)
где д — угол между направлением движения излучающего тела и направлением излучения (т. е. угол между векторами пир).
