Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
где амплитуды колебаний велики. На всех остальных участках амплитуды малы. Если ими пренебречь, то можно сказать, что весь спектр частот практически сосредоточен в пределах интервала шириной Дсо, который удовлетворяет условию
Aco • т 2я. (29.8)
Если ввести обычную частоту v = со/(2я), то
Av-T^l. (29.8а) 216
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
ІГЛ. III
Это важное соотношение между шириной спектра А<в (или Av) и длительностью цуга т имеет общий характер. Его можно также уяснить на следующем простом примере. Рассмотрим множество синусоид с одинаковыми амплитудами, но различными частотами, непрерывно и равномерно заполняющими интервал Асо. Пусть в точке t = 0 фазы всех синусоид совпадают, а следовательно, амплитуда колебаний максимальна. При t — т/2 разность фаз между крайними синусоидами будет Aco -т/2. Если она сделается равной 2л, то в точке t = т/2 наложатся синусоиды со всевозможными фазами, непрерывно и равномерно заполняющими интервал шириной 2я. При таком наложении, как легко уяснить с помощью векторной диаграммы, синусоиды погасят друг друга. При том же условии произойдет взаимное гашение синусоид и в точке t — —т/2. Таким образом, выделится интервал времени (—т/2, +т/2), на обоих концах которого волновое поле обратится в нуль. На этом участке время т связано с шириной спектра Доз соотношением Aco -т = 4я, которое по существу совпадает с (29.8).
4. Формула, аналогичная (29.8), имеет место и для пространственного распределения волнового поля, когда оно рассматривается в какой-либо фиксированный момент времени Примером может служить «оборванная синусоида» на рис. 130, а, если по оси абсцисс откладывать координату х в направлении распространения волны. При таком рассмотрении снова можно пользоваться формулой (29.4), заменив в ней время t на координату х, а частоту со на волновое число k = ео/у. Поступив так, легко найти, что длина цуга волн Ax связана с соответствующим интервалом волновых чисел Ak соотношением
-Ak-Ax^2n. (29 9)
Этот результат будет обобщен в § 44 на случай трех измерений. Соотношения (29.8) и (29.9) играют важную роль в квантовой механике, где они при несколько иной интерпретации выражают так называемый принцип неопределенности Гайзенберга (1901—197?).
5. Когда ширина спектра Д<в достаточно мала (Д<о о), то соответствующий свет называют квазимонохроматическим. Часто пользуются также «спектроскопическим волновым числом» k = k/(2n). Для него
Ak-Ax^L (29.9а)
Примером могут служить спектральные линии, излучаемые разреженными газами. Квазимонохроматический свет можно выделить из непрерывного спектра излучения (например, Солнца) призмой, дифракционной решеткой или другими приборами, осуществляющими спектральное разложение. За меру монохроматичности света можно принять отношение I (о/Дсо I или равное ему отношение I К/AK I. Наибольшей монохроматичностью обладает свет, 'излучае- ВЛИЯНИЕ НЕМОНОХРОМАТИЧИОСТИ СВЕТА
217
мый газовыми лазерами. Нельзя, однако,. упускать из в йду, что цуг волн или световой пучок, занимающий спектральную область Дсо, должен обладать конечной длительностью, не меньшей т « де2я/Дсо. В частности, не имеет смысла говорить о мгновенной объемной плотности энергии излучения в интервале dсо, т. е. о величине ^ I dE I2 = |а (со) dco I2. Вместо мгновенной надо пользоваться средней плотностью энергии излучения за время порядка т ?z,2nld(o. Это значит, что интенсивность излечения в спектральном интервале (со, со + dco) должна определяться величиной, пропорциональной т I dE I2, т. е. Ia (со) I2 dco. Величину | а (со) I2 называют спектральной плотностью излучения. Именно такую величину имеют в виду, говоря о распределении интенсивности или энергии излучения в спектре. Вместо частоты можно, конечно, пользоваться длинами волн, представляя ту же величину в виде I (A,) I2 dX. Очевидно, а (со) = 2яс ах (Я)/со2.
ЗАДАЧА
Разложить в интеграл Фурье и найти спектральную плотно:гь излучения для затухающего осциллятора, волновое поле которого определяется выражением
Ответ: а (со) =
E{t) = e~t!x sinay (*2з 0). 1 1 -
2л (со — со0)— і/і'
I а (со) I2 =-j-r .-Itttt^. (29.10)
1 * 4л2 (со — со„)2 + (1/т)2 v '
Если со — W0 = 1/т, т. е. Асо-т = 1, то спектральная плотность излучения уменьшается в два раза.
Этот пример снова подтверждает общее соотношение (29.8). В примере, рассмотренном в тексте (рис. 130, б), спектральная плотность излучения | а (со) | 2 л я
на краях интервала —<a убывает в (n/2)-~ 2,5 раза по сравнению с той же величиной при a = 0.
§ 30. Влияние немонохроматичности света
1. Как и увеличение размеров источников, немонохроматичность света ведет сначала к ухудшению контрастности (видимости) интерференционных полос, а затем к полному исчезновению их. Чтобы не усложнять исследование учетом конечных размеров источника, будем предполагать, что источник света S точечный. Пусть S1 и S2 (рис. 113) — когерентные источники, являющиеся действительными или мнимыми изображениями источника S. Допустим сначала, что излучение источника S состоит из двух близких одинаково интенсивных спектральных линий с длинами волн К и А «= Я 4- OA-. Точка или линия экрана, где оптическая разность і18
