Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики. Том 4. Оптика " -> 96

Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 4. Оптика — Оптика, 1980. — 752 c.
Скачать (прямая ссылка): obshkfopt1980.djvuСкачать (прямая ссылка): optika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 331 >> Следующая


213

представить в виде вещественной части ряда Фурье:

OO

E (/) = 2 a"-einQt > (29.1)

Я = О

коэффициенты которого определяются выражением

т/2

ап = ~ J E (t)e~inQt dt (29.2)

-т/2

(см. т. III, § 128; конечно, в случае света постоянного слагаемого с коэффициентом O0 не будет). Средняя за период объемная плотность энергии колебаний (в условных единицах) будет

T/2 со со

j la"l2=2 wn- (29-3)

— т/2 п = о л = о

Она равна сумме средних плотностей энергии монохроматических колебаний, из которых складывается результирующее колебание. То же заключение справедливо и для интенсивности колебаний, если понимать под интенсивностью усредненную по периоду T любую энергетическую величину, характеризующую поле излучения в рассматриваемой точке пространства.

Полученный результат остается приближенно верным и для случая, когда функция E (t) не периодична, а представляется суперпозицией монохроматических колебаний, частоты которых распределены по спектру совершенно произвольно. Только в этом случае усреднение надо производить не по периоду т (которого теперь не существует), а по времени, весьма большому по сравнению с периодами всех монохроматических колебаний, входящих в суперпозицию. Результат приближенно верен и в случае суперпозиции почти гармонических колебаний с произвольными частотами, например для света, состоящего из узких спектральных линий.

2. Если функция E (/) не периодична, то она представляется не рядом, а интегралом Фурье. Для возможности такого представления на функцию E (/) приходится накладывать различные (достаточные) ограничения, например требовать, чтобы она была абсолютно интегрируема во всем бесконечном интервале (—оо, ^+оо), т. е. чтобы сходился интеграл

-f OO

5 і ?(01 dt.

—со

Это обстоятельство, однако, в физике не создает никаких существенных затруднений, даже в тех случаях, когда вводят функции, не обращающиеся в нуль на бесконечности, т. е. не удовлетворяющие требованию абсолютной интегрируемости. 214

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

ІГЛ. III

Действительно, пусть E (/) — такая функция. Разделим t на интервалы времени, достаточно длительные по сравнению с периодами световых колебаний. Световое поле на каждом из таких интервалов (t0, t0 + т) и его воздействие на приемник при любом значении t0 практически совсем не зависят от полей на соседних интервалах. Поэтому при рассмотрении света только на интервале (4, 'о + т) функцию E (t) вне рассматриваемого интервала можно заменить любой другой функцией. В частности, ее можно периодически продолжить за пределы интервала (t0, t0 + т) с периодом т. Но тогда для представления функции E (і) в интервале (t0, t0 + т) можно воспользоваться рядом Фурье (29,1). При этом, ввиду малости частоты Q = 2л/г, целесообразно ввести обозначения Aco = Q, соя = nQ. Тогда

После аппроксимации суммы интегралом получаем

со

?(0 = J а (а) еш da,

о

где а (ю) = aJQ, или с учетом (29.2)

т/2 Т/2

?((o) = і j E (t) г*«* dt = ^r j E (t) е~ш dt.

— т/2 -т/2

Интеграл Фурье получается из этих формул, если в последнем выражении конечные пределы заменить на бесконечные —оо и +оо (см. т. III, § 128). Однако здесь мы не будем делать этого, оставляя время т неопределенным. При физической постановке задач всегда можно достигнуть необходимой точности, выбирая т достаточно большим. Таким путем достигается то преимущество, что формулу (29.4) в каждом интервале длительностью т можно будет применять и для функций E (t), не интегрируемых абсолютно, например к плоским волнам постоянной интенсивности, не ограниченным во времени. При этом выражения (29.4) на разных интервалах времени т (если т выбрать достаточно большим), вообще говоря, не будут когерентны.

В случае интеграла Фурье формула (29.3) заменится на

т/2

j |?|2^ = т?ИОЙ|2.

-Т/2

Если аппроксимировать сумму интегралом и учесть, что т?2 = 2я, то получится

Т/2 со

5 |?|аЛ = 2я$ I а (со) I2 d(0. (29.6)

—т/2 О

(29.4)

(29.5) СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

215

О физическом смысле этого соотношения говорится ниже в пункте 5.

3. Приведем пример спектрального разложения, приводящий к важным обобщениям. Бесконечно длящееся синусоидальное колебание является идеализацией ограниченного ряда, или цуга синусоидальных волн, представленного на рис. 130, а «оборванной

Siucc

Рис. 130.

(m-m„)t

Z

синусоидой». Пусть T0 — «период», а ш0 ды». Тогда в комплексной форме

т/2

= І J -t/2

В вещественной форме

«частота» этой «синусои-

(СО,-COHrf/:

(O0)T

2 sin 1I2 (о)

лі 1MW-W0) X

E

UJ

2 Г sin 1U (со — (O0) т • ,J (/) = — \ -TTiTs-~ smwt d&.

w л J V2(M-Wo)T

График -функции

о

sin а

где а:

. (M-CO0)T

(29.7)

приведен на

а ' 2

рис. 130, б. Таким образом, оборванный цуг волн, изображенный на рис. 130, а, может быть представлен суперпозицией бесконечного множества синусоид, частоты которых непрерывно заполняют бесконечный интервал 0 < со < + оо. Впрочем, основное значение

имеет только интервал — у < а < + ~, или со0 — < со < со0 + ,
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 331 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed