Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
213
представить в виде вещественной части ряда Фурье:
OO
E (/) = 2 a"-einQt > (29.1)
Я = О
коэффициенты которого определяются выражением
т/2
ап = ~ J E (t)e~inQt dt (29.2)
-т/2
(см. т. III, § 128; конечно, в случае света постоянного слагаемого с коэффициентом O0 не будет). Средняя за период объемная плотность энергии колебаний (в условных единицах) будет
T/2 со со
j la"l2=2 wn- (29-3)
— т/2 п = о л = о
Она равна сумме средних плотностей энергии монохроматических колебаний, из которых складывается результирующее колебание. То же заключение справедливо и для интенсивности колебаний, если понимать под интенсивностью усредненную по периоду T любую энергетическую величину, характеризующую поле излучения в рассматриваемой точке пространства.
Полученный результат остается приближенно верным и для случая, когда функция E (t) не периодична, а представляется суперпозицией монохроматических колебаний, частоты которых распределены по спектру совершенно произвольно. Только в этом случае усреднение надо производить не по периоду т (которого теперь не существует), а по времени, весьма большому по сравнению с периодами всех монохроматических колебаний, входящих в суперпозицию. Результат приближенно верен и в случае суперпозиции почти гармонических колебаний с произвольными частотами, например для света, состоящего из узких спектральных линий.
2. Если функция E (/) не периодична, то она представляется не рядом, а интегралом Фурье. Для возможности такого представления на функцию E (/) приходится накладывать различные (достаточные) ограничения, например требовать, чтобы она была абсолютно интегрируема во всем бесконечном интервале (—оо, ^+оо), т. е. чтобы сходился интеграл
-f OO
5 і ?(01 dt.
—со
Это обстоятельство, однако, в физике не создает никаких существенных затруднений, даже в тех случаях, когда вводят функции, не обращающиеся в нуль на бесконечности, т. е. не удовлетворяющие требованию абсолютной интегрируемости.214
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
ІГЛ. III
Действительно, пусть E (/) — такая функция. Разделим t на интервалы времени, достаточно длительные по сравнению с периодами световых колебаний. Световое поле на каждом из таких интервалов (t0, t0 + т) и его воздействие на приемник при любом значении t0 практически совсем не зависят от полей на соседних интервалах. Поэтому при рассмотрении света только на интервале (4, 'о + т) функцию E (t) вне рассматриваемого интервала можно заменить любой другой функцией. В частности, ее можно периодически продолжить за пределы интервала (t0, t0 + т) с периодом т. Но тогда для представления функции E (і) в интервале (t0, t0 + т) можно воспользоваться рядом Фурье (29,1). При этом, ввиду малости частоты Q = 2л/г, целесообразно ввести обозначения Aco = Q, соя = nQ. Тогда
После аппроксимации суммы интегралом получаем
со
?(0 = J а (а) еш da,
о
где а (ю) = aJQ, или с учетом (29.2)
т/2 Т/2
?((o) = і j E (t) г*«* dt = ^r j E (t) е~ш dt.
— т/2 -т/2
Интеграл Фурье получается из этих формул, если в последнем выражении конечные пределы заменить на бесконечные —оо и +оо (см. т. III, § 128). Однако здесь мы не будем делать этого, оставляя время т неопределенным. При физической постановке задач всегда можно достигнуть необходимой точности, выбирая т достаточно большим. Таким путем достигается то преимущество, что формулу (29.4) в каждом интервале длительностью т можно будет применять и для функций E (t), не интегрируемых абсолютно, например к плоским волнам постоянной интенсивности, не ограниченным во времени. При этом выражения (29.4) на разных интервалах времени т (если т выбрать достаточно большим), вообще говоря, не будут когерентны.
В случае интеграла Фурье формула (29.3) заменится на
т/2
j |?|2^ = т?ИОЙ|2.
-Т/2
Если аппроксимировать сумму интегралом и учесть, что т?2 = 2я, то получится
Т/2 со
5 |?|аЛ = 2я$ I а (со) I2 d(0. (29.6)
—т/2 О
(29.4)
(29.5)СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
215
О физическом смысле этого соотношения говорится ниже в пункте 5.
3. Приведем пример спектрального разложения, приводящий к важным обобщениям. Бесконечно длящееся синусоидальное колебание является идеализацией ограниченного ряда, или цуга синусоидальных волн, представленного на рис. 130, а «оборванной
Siucc
Рис. 130.
(m-m„)t
Z
синусоидой». Пусть T0 — «период», а ш0 ды». Тогда в комплексной форме
т/2
= І J -t/2
В вещественной форме
«частота» этой «синусои-
(СО,-COHrf/:
(O0)T
2 sin 1I2 (о)
лі 1MW-W0) X
E
UJ
2 Г sin 1U (со — (O0) т • ,J (/) = — \ -TTiTs-~ smwt d&.
w л J V2(M-Wo)T
График -функции
о
sin а
где а:
. (M-CO0)T
(29.7)
приведен на
а ' 2
рис. 130, б. Таким образом, оборванный цуг волн, изображенный на рис. 130, а, может быть представлен суперпозицией бесконечного множества синусоид, частоты которых непрерывно заполняют бесконечный интервал 0 < со < + оо. Впрочем, основное значение
имеет только интервал — у < а < + ~, или со0 — < со < со0 + ,