Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
dn дп , дп дг дп , дп dx
дх дг дх дх " дг '
т. е. отличается от частной производной дп/дх на величину первого порядка малости по и. Поэтому замена дп/дх на dn/dx в предыдущем выражении вносит ошибку второго порядка, которой мы пренебрегаем. Сделав эту замену и воспользовавшись формулой (4.1), получим
Jl R
du dx
J дп п dN
\_дп п дг
dn Tx1
или
d дп
Тх^ = дР'
(25.15) § 25] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЛИНЗЫ
197
Разложим п = п (х, г) в ряд по степеням г и оборвем разложение на члене второй степени. Член первой степени должен отсутствовать, ввиду осевой симметрии системы, Таким образом,
2
п = щ(х) +-
Л
дгЧо1
потому
дп
Тг = Г
d?n \
dr^h'
Здесь нуль в индексе означает, что величина с таким индексом берется при г = О, т. е. на главной оптической оси системы. В результате уравнение (25.15) переходит в
d Jdbi]
dx
(пи) =
дг2 /
о
(25.16)
Допустим теперь, что линза тонкая. Пусть P и P' — оптически сопряженные точки на ее оси (рис. 109). Отрезки соединяющего их луча вне линзы прямолинейны. Проинтегрируем уравнение (25,16) по ї в пределах от —°о до +оо.
г
P А П, П і В "2
Pjjc. 109.
Фактически это сводится к интегрированию по отрезку AB, так как вне этого отрезка дгп/дг2 = 0. Внутри линзы, поскольку она тонкая, радиус г можно считать постоянным и вынести его из-под знака интеграла. Это дает
+ OO
H2U2-H1U1=T ^ ^dx, — со
где H1 — показатель преломления в пространстве предметов, а п2 — в пространстве изображений. Обозначим, как и раньше, через | и расстояния предмета P и его изображения P' от центра линзы. С учетом правила знаков u1 = —/71, Ui = —г/%', так что предыдущее уравнение переходит в
' LjlL=.
где
5+|г = -1. (25 17)
OO 4" OQ
~ — ' * * " (д2п\
т—к ШЬ' hi H^Jodx- (2518>
2. Вычислить фокусные расстояния тонкой электростатической линзы (примером такой линзы может служить «одиночная линза», представленная на рис. 110).
Решение. Потенциал поля V определим по формуле 1I2 mi? = | е | V. При таком определении V — существенно положительная величина, В формулах 186 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ (Гл. Il'
(25.18) делаем замену п-T-VrV- Учитывая, что на оси системы dV/dr = 0, получаем
!<fln\ д2 Vv = 1 д'2У Vдг2 J0 дг2 2 VV дг2'
При отсутствии свободных зарядов V2K = 0. На оси S1Vldy1 = S1Vldг2 = Of2Vldr2, так что V2V = Id2Vldx2) + 2 (SI1Vldr1) = 0. В результате из (25.18) нахвдим
+ OO
4—4= Г '^dx. (25.19)
/ ^Vv1 J Vv дх2
— со
Проинтегрировав по частям и приняв во внимание, что на пределах интеграла dVldx = 0, получим
+ СО -}- OO
— OO — OO
где F1 — потенциал пространства предметов, V2 — пространства изображений, Efc — —dVldx — напряженность электрического поля на оси. Если V1 = V2, ТО f = — Г,
Так как V > 0, то для тонких электростатических линз / > 0, /' <0. Такие линзы всегда будут собирательными. Оптические линзы, даже тонкие, могут быть
V^V2
Рис. 110.
И собирательными, и рассеивающими. Это различие связано с тем, что функция П (г) может быть какой угодно, тогда как потенциал V (г) при отсутствии свободных зарядов должен удовлетворять уравнению Лапласа V2V = 0. Толстые электростатические линзы могут быть и собирательными, и рассеивающими. В этом нетрудно убедиться на примере системы, состоящей из двух тонких электростатических линз. Формулы (12.3) показывают, что такая система будет собирательной, когда оптический интервал Д отрицателен, и рассеивающей, когда он положителен.
I еА
3. Предполагая, что п„ >> — , вычислить фокусное расстояние тонкой магнитной линзы.
Решение, Разлагая (25,10) в ряд и отбрасывая члены высших CTeneaefl1 получим
е2А2 є2г2 „2
"= '"2^75- = "о -g^ Bx,
откуда
— _
or2 ~ 4iiac2 § 25] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЛИНЗЫ 187
Следовательно,
В* dx^MtW J Bldx¦ (25'21)
+ оэ +со
1 _ 1 _ е2 с „J . е2
/ - Г - 4я*с2
— со
Как и электростатическая, тонкая магнитная линза всегда будет собирательной.
4. Вычислить фокусное расстояние кругового витка радиуса а тонкой проволоки, по которой течет ток /.
Ответ. В гауссовой системе единиц
+ со
1=«№ Г dx __ Зя%2 /2 f ~ 8mc*W J (х2 + а2)з~ Iemc4W а ' (2O.22)
— со
Выражая энергию W в электрон-вольтах, полагаем W= \ е \ V0 и переходим к практическим единицам (сантиметры, вольты, амперы). Тогда получаем для электронов
/ = — /'=*= 98^-. (25.23)
Для короткой катушки с числом витков N
л /=-/' =98 Й- (25-24)
5. Показать, что формула (25.18) для f в предельном случае тонкой линзі# с резкими краями переходит в формулу (10.9). Считать, что показатели преломления Пі и W2 п0 °бе стороны линзы одинаковы.
Указание. Принять, что показатель преломления п меняется только в бесконечно тонких слоях вблизи каждой сферической границы линзы. На всякой сферической поверхности, проведенной внутри этих слоев параллельно ближайшей поверхности линзы, функция п постоянна. Пользуясь этим, дифференцирование пб г можно заменить дифференцированием по х, а затем вычислить интеграл в формулах (25,18), ГЛАВА III ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
