Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В параксиальном приближении скорость vx также не зависит от расстояния г до оси X и раййа скорости частицы, движущейся вдоль этой оси, Поэтому производные гіф/d* имеют одинаковые значения для всех частиц, независимо от наклона их траекторий к оси X. Если I — расстояние от предметной плоскости до плоскости изображения, то на этом расстоянии в параксиальном приближе- § 25] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЛИНЗЫ
183
нии все частицы поворачивают вокруг оси симметрии системы на один и тот же угол
Ф =
е
2 тс
[B-±dx.
J Vx
(25.14)
Следовательно, в смысле получения изображений система будет вести себя так, как если бы магнитного поля не было, а электростатическое определялось потенциалом (25.9). Магнитное поле приводит ешр к несущественному повороту всего изображения вокруг оси симметрии системы на угол, определяемый формулой (25.14). В высших приближениях угол поворота зависит от наклона траектории к оси системы. Это ведет к появлению дополнительных аберраций, обусловленных наличием магнитного поля.
4. Отметим еще одно обстоятельство. Если электрического поля нет, а магнитное поле однородно, то частица движется по спирали, вращаясь с циклотронной частотой со = —еВ/те (см. т. III, § 86). Между тем формула (25.12) для этого случая дает угловую скорость, вдвое меньшую ш. Недоразумение легко разъясняется, если заметить, что со есть угловая скорость вращения частицы вокруг оси спирали, тогда как формула (25.12) определяет ее вращение вокруг одной из
образующих той же спирали. Допустим, например, что магнитное поле перпендикулярно к плоскости рисунка (рис. 106), а частица вращается по окружности в той же плоскости. За ось X можно, конечно, принять любую прямую, направленную вдоль поля В. Поэтому можно считать, что частица выходит из какой-то точки M этой оси. Описав окружность, она снова возвращается в исходною точку. Ее вращение вокруг точки M описывается формулой (25.12), тогда как
вращение вокруг центра О окружности происходит с циклотронной частотой со. За время dt частица повернется вокруг центра О на угол со dt, а вокруг точки M — на угол dq> = V2M dt, так что ф = V2w.
5. Выше фокусировка частиц в электрических линзах была объяснена с помощью аналогии со световой оптикой. Сделаем теперь то же самое, рассматривая силы, действующие на частицу. На рис. 107 представлена линза, состоящая из трех соосных металлических цилиндров одинакового диаметра. Крайние цилиндры заземлены, на средний подан положительный или отрицательный потенциал. Линзы такого типа используются в электронно-лучевых трубках и некоторых электронных микроскопах. На рисунке изображены электрические силовые линии с указанием направлений силл действующих на частицу, 184
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ (Гл. Il'
Допустим, что частица влетает в линзу, двигаясь параллельно ее оси. В области А действующая на нее сила имеет составляющую, направленную вверх. Эта сила будет смещать частицу вверх. В области В направление вертикальной составляющей силы изменится на противоположное. Однако, так как под действием электрического поля скорость частицы непрерывно возрастает, на прохождение области В частица затрачивает меньше времени, чем на прохождение области Л. Поэтому поперечная скорость, приобретенная частицей в области А, не может быть скомпенсирована скоростью противоположного направления, которую она получает в области В. В результате в областях А и В и по выходе из них частица будет двигаться вверх, приближаясь к оси линзы. Аналогично, в области С на частицу действует сила, стремящаяся удалить ее от оси линзы, а в области D — приблизить. Но в этих областях частица замедляется, а потому проводит в области D большее время, чем в С. Поэтому при прохождении обеих областей CnD вертикальная скорость частицы, направленная вверх, возрастет.
Эти разъяснения объясняют, почему частицы приближаются к оси линзы. Конечно, из них не следует, что все частицы пучка соберутся в одной и той же точке на оси линзы. Для доказательства этого требуется уже количественное рассмотрение, которое и было проведено выше на основе аналогии со световой оптикой.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить фокусное расстояние тонкой оптической линзы, показатель преломления которой в пространстве меняется непрерывно.
Решение. Сначала не будем вводить предположение о тонкости линзы, а рассмотрим среду, обладающую симметрией вращения вокруг оси X. Уравнение луча в меридиональной плоскости представится в виде г = г (х). Обозначим через и угол,' образуемый касательной к лучу с осью X (рис. 108). В параксиальном приближении квадратом этого угла пренебрегают. В этом приближении кривизна луча определяется выражением 1 /R = —du/dx, причем радиус кривизны R мы считаем положительным, когда луч обращен вогнутостью к главной оптической оси X, и отрицательным в противоположном случае. Воспользуемся формулой (4.1). В пределах точности параксиальной оптики dr/dN = —cos и яа R= —1, dx/dN = sin и » и, так что
Рис. 108.
дг^ _дп дг дп дх дп дп
Так как на луче г = г (х), то п (х, г) можно рассматривать как сложную функцию от т. е. п (х) = п \х, г (*)]. Ее производная по х определяется выражением
