Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
2. Возможность фокусировки заряженных частиц и получения изображений в осесимметричных системах электростатических линз непосредственно следует из формальной аналогии между геометрической оптикой и классической механикой, отмеченной нами в пункте 1 параграфа 4. Действительно, согласно этой аналогии, траектория частицы в потенциальном силовом поле совпадает со световым лучом в непрерывной среде, показатель преломления которой пропорционален скорости (а в релятивистской механике—импульсу) частицы, однозначно определяющейся ее положением в пространстве. Например, можно положить
n = V2(W-eV), (25.1)
где W — полная энергия частицы, е — ее заряд, V — потенциал электростатического поля.
3. Несколько труднее понять действие магнитных линз и комбинаций таких линз с электростатическими линзами. Для исследования вопроса рассмотрим статическое электромагнитное поле, обладающее симметрией вращения вокруг некоторой оси. Эту ось примем за ось X цилиндрической системы координат. Расстояние до оси X будем обозначать через г, а азимутальный угол — через <р. Ввиду симметрии вращения, электрическое и магнитное поля не могут зависеть от ф, Предположим кроме того, что всякая плоскости проходящая через ось § 25] электрические и магнитные линзы 181
X, является плоскостью симметрии поля. Тогда не будет ф-составляющих электрического и магнитного Полей (?ф = By «= 0). Оставшиеся х- и /--составляющие этих полей будут функциями только координат хм г. Уравнение div B = O после умножения на г запишется в виде
^(rBx)+^(rBr) =0. (25.2)
Введем потенциальную функцию А (х, г), определяемую условием гВх = —дА/дг, Тогда предыдущее уравнение преобразуется в
д^/дА
дг ( г'~дх\дг) ^ дг\дх
откуда гBr = дА/дх, причем «постоянную интегрирования» (точнее — функцию х) мы без ущерба для общности положили равной нулю. Таким образом,
**—Tr' r8^Tx- <25-3>
Oi сюда
А(х; r) = \r(Brdx-Bxdr). (25.4)
В силу (25.2) входящий сюда интеграл не зависит от пути интегрирования, а только от его начальной и конечной точек. Условимся Помещать начальную точку на оси системы. На оси системы в силу симметрии Br = 0, Поэтому не имеет значения, в каком месте этой оси выбрать начальную точку. От этого значение интеграла (25.4) не зависит, и он может быть представлен в виде
г
А(х, r) = — ^Bxrdr. (25.5)
Обратимся теперь к исследованию движения частицы с-массой m и зарядом е, ограничиваюсь ради простоты нерелятивистским приближением, Угловую скорость ф частицы можно найти из уравнения моментов
~ (тл2ф) = Mx,
где Mx — момент сил, действующих на частицу, относительно оси X, Электри-ческое поле не влияет на момент Mx. Он создается только силой F —— действующей со стороны магнитного поля, Вычисляя этот момент, находим
м ег /d D1 e / дА , дЛ\ Mx=-(Brvx- Bxvr) =-(??+^)-
Если под X, г и ф понимать координаты движущейся частицы, то А (X1 г) станет функцией времени t, Производная этой функции равна
Следовательно, ,Отсюда
dt ~дх dt дг dt ~ дх +х>г дг' ., е dA d , ... е dA
Ф=__
* tncr* n^mr'1 182
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ (Гл. Il'
Постоянная С должна обращаться в нуль. Иначе (так как на оси системы функция А равна нулю) при г — 0 мы получили бы /-ф = оо. А это невозможно, так как гф есть линейная скорость частицы в ее вращении вокруг оси X. Таким образом,
(25.6,
Возьмем теперь уравнение движения частицы
ma = e{E + ^[vB}^, (25.7)
где а — ускорение. При проектировании его на ось X и направление радиуса г слева получим соответственно тах = тх и таг. Радиальное ускорение в цилиндрической системе координат определяется выражением аг = ? — (см. т. I, § 46). Введем еще электрический потенциал V и учтем соотношения (25.3) и (25.6), Тогда после недлинных преобразований из (25.7) получим ,
mx—4x{v+-wr)' «*—?[v+-ш?)-. м
Задача о движении частицы распалась на две независимые задачи: определение угловой координаты ф и определение координат х н г. Для решения первой задачи имеется уравнение (25.6), а для второй — уравнения (25.8). Формально вторая задача идентична с задачей определения траектории заряженной частицы в плоском электростатическом поле с потенциалом
Ее формальным аналогом в оптике служит задача о распространении светового луча в неоднородной изотропной среде с показателем преломления
где па = Уг2т (W—eV)— «показатель преломления» в отсутствие магнитного поля. Для получения окончательной формы траектории частицы надо наложить на этот «луч» дополнительное вращение, выражаемое формулой (25.6).
Учтем теперь условие параксиальности. Для этого разложим Bx (х, г) в ряд по степеням г. Ввиду осевой симметрии, это разложение может содержать только четные степени г. Оборвем разложение на члене нулевой степени — в этом приближении поле Bx не зависит от г. Вынося Bx из-под знака интеграла (25.5) и выполнив интегрирование, получим
А = -\вхг\ (25.11)
а после подстановки в формулу (25.6)
ф= — eBx?mc, (25.12)
Отсюда
гіф_гіф dt_ 1 еВх
dx ~~ dt dx~ vx 2 то '
(25.13)
