Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Доказанной теореме можно дать также следующую формулировку. Если AA' — Рис- 27-
анаберрационная поверхность
относительно пары, точек P и P', то каждая из этих точек будет оптическим изображением другой при преломлении лучей на этой анаберрационной поверхности. При этом на угловую ширину пучка лучей не накладывается никаких ограничений.
Вернемся к исследованию характера экстремума оптической длины луча при преломлении. Наши рассуждения ничем не будут отличаться от рассуждений, проведенных выше для эллипсоидального зеркала. Допустим, например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности S (рис. 27), касающейся анаберрационной поверхности в точке А. Тогда падающий луч после преломления в точке А опять пройдет через точку P'. Пусть поверхность 5 обращена вогнутостью в ту же сторону, что и анаберрационная поверхность, и имеет в точке касания большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль S она окажется в менее преломляющей среде. Следовательно, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину, чем действительный: время распространения света вдоль действительного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности S в точке касания А меньше кривизны анаберрационной поверхности, а также тогда, когда поверхность S обращена вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения вдоль действительного пути минимально. В частности, оно Минимально при преломлении на плоской поверхности. 54
введение
[гл. i
ЗАДАЧА
Система лучей называется ортотомной, если все лучи этой системы ортогональны к одной и той же поверхности. Пользуясь принципом Ферма, доказать теоремд Малюса: ортотомная система лучей остается ортотомной после произвольного числа отражений и преломлений.
Решение. Пусть все лучи перпендикулярны к поверхности F (рис. 28). Проведем через каждую точку этой поверхности луч и отложим на нем отрезок постоянной (но произвольной) оптической длины L. Геометрическим местом концов таких отрезков будет какая-то поверхность F'. Докажем, что все лучи рассматриваемой системы перпендикулярны к поверхности F', каково бы ни было значение / величины L.
~ * -——/ Малые отрезки одного из лучей AC
__у__С' j и C A' могут считаться прямолинейными.
А ' ^ --Jдг Возьмем соседний бесконечно близкий луч
__N I и притом такой, что длины AB и А'В' бес-
' * конечно малы по сравнению с AC и С'А',
I Соединим В с С и С' с В' прямолинейными > г отрезками. По принципу Ферма с точно-
• ' F стью до бесконечно малых второго или
Q па высшего порядков (BEB') = (ВСС'В'), а
кис- по построению (BEB') = (АСС'А'). Таким
образом, (ВСС'В') = (АСС'А'). Вычитая отсюда общую часть (CC'), получим: (АС) + (С'А') = (ВС) + (С'В'). Так как по условию отрезок AC перпендикулярен к AB, то с точностью до второго порядка малости AC = ВС, а следовательно, (АС) = (ВС). Поэтому с той же точностью (С'А') = (С'В'), или С'А' = С'В', откуда следует, что С'А' 1 А'В'.
С точки зрения волновой теории теорема Малюса почти самоочевидна. Действительно, для ортотомной системы лучей поверхность F есть одна из поверхностей равной фазы (волновой фронт). Распространяясь по законам геометрической оптики, она продолжает оставаться поверхностью равной фазы, а совокупность лучей — ортогональной системой. Конечно, ортогональность может и не соблюдаться. Например, волны вида (6.5) при соблюдении принципа суперпозиции распространяются независимо друг от друга. Каждой из таких волн соответствует ортотомная система лучей. Однако совокупность лучей, соответствующих всем волнам, ортотомную систему, вообще говоря, не образует.
§ 8. Групповая скорость
1. До сих пор при рассмотрении скорости распространения волн мы предполагали, что соблюдается принцип суперпозиции и отсутствует дисперсия. При несоблюдении принципа суперпозиции и наличии дисперсии вопрос о скорости распространения волн становится очень сложным. Ниже предполагается, что принцип суперпозиции соблюдается, но имеется дисперсия. Сначала рассмотрим плоские волны, распространяющиеся в одном направлении, принимаемом за направление оси X.
Бегущую плоскую монохроматическую волну запишем в виде
E = E0 cos {at-kx +8), (8.1)
где Е() и б — постоянные. При рассмотрении таких вели дисперсия не играет роли, поскольку частота со имеет единственное значение» групповая скорость
55
Для выяснения смысла скорости распространения рассмотрим уравнение
at — kx-\- б = consti - (8.2)
Это есть уравнение плоскости, перпендикулярной к оси X, на которой постоянна фаза волны. Дифференцируя его, получим: а dt — — k dx = 0, откуда
dX ¦ W /Q Q\
Ж = Tt (8-3)
Таким образом, a/k есть скорость распространения поверхности постоянной фазы, ранее обозначавшаяся через v. Она называется фазовой скоростью волны, G такой скоростью распространяется синусоидальная волна типа (8.1) без изменения своей формы.
Если бы среда не обладала дисперсией, то говорить о какой-либо другой скорости распространения волны не было бы необходимости. Действительно, произвольное плоское возмущение, распространяющееся в направлении оси X, согласно теореме Фурье можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн вида (8.1). При отсутствии дисперсии все эти волны имели бы одну и ту же фазовую скорость, так что форма возмущения все время оставалась бы одной и той же. Возмущение в целом бежало бы вперед без изменения вида со скоростью, равной той же фазовой скорости. Не то будет при наличии дисперсии. Тогда монохроматические волны разных частот будут распространяться вперед с разными скоростями, вследствие чего форMfl всего возмущения будет непрерывно деформироваться (исключение составляют только монохроматические волны, распространяющиеся по-прежнему без изменения формы). В этцх условиях понятие скорости распространения утрачивает тот ясный смысл, какой оно имело при отсутствии дисперсии, При определенных условиях, однако, можно сохранить представление о скорости распространения немонохроматических волн и в средах, обладающие дисперсией, Важнейшей после фазовой скорости является так называемая групповая скорость.
