Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
А
Рис. 24. принцип ферма
51
4. В применениях иногда удобна следующая теорема, являющаяся непосредственным следствием принципа Ферма. Пусть AuB — произвольные точки луча ACB (рис. 25). Проведем через точку В произвольную гладкую поверхность BE, ортогональную к лучу ACB в точке В. Пусть BD — бесконечно малое смещение вдоль этой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точкой D произвольной линией AHD, бесконечно мало отличающейся по направлению от луча ACВ. Тогда вариация оптической длины при переходе от истинного пути света ACB к виртуальному AHD будет равна нулю.
Для доказательства возьмем пучок лучей, исходящих из точки А. Все эти лучи ортогональны к волновому фронту BF, а их оптические длины от точки А до волнового фронта одинаковы. В частности, (ACB) = (АМК). Но по принципу Ферма с точностью до бесконечно малых высшего порядка (AMK) = (АНК). Далее, по€кЬльку поверхности BDE и BKF касаются друг друга в точке В, длина луча KD будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с BD. Поэтому оптическая длина AHD будет отличаться от оптической длины ACB также на величину высшего порядка малости по сравнению с боковым смещением BD, Это и требовалось доказать.
5. Если свет распространяется в однородных средах, граничащих между собой, то в каждой среде -путь света будет прямолинеен. В этом случае задача сводится только к нахождению точек на поверхностях раздела сред, в которых происходит отражение и преломление светового луча. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные виртуальные пути света. Достаточно ограничиться ломаными виртуальными путями, состоящими из отрезков прямых линий, причем изломы таких путей должны происходить на границах раздела рассматриваемых сред. Даже при таких ограничениях оптическая длина действительного светового пути может быть не только минимальной, но и максимальной или стационарной.
Чтобы показать это в случае отражения света, возьмем эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения эллипса вокруг его большой оси F1F2 (рис. 26).
Пусть F1 и F2 — фокусы эллипсоида. Если А — точка на его поверхности, то F1A + F2A = 2а, где 2а — длина большой оси эллипсоида. Поверхность зеркала делит все пространство на две части: внутреннюю, сумма расстояний каждой точки которой от фокусов F1 и F2 меньше 2а, и внешнюю, для которой эта сумма больше 2а. Пусть световой луч выходит из фокуса F1. Тогда после 52
введений
(гл. i
отражения от эллипсоидального зеркала в точке А он пройдет через второй фокус F2, так как по известному свойству эллипса прямые F1A и F2A образуют одинаковые углы с нормалью к поверхности зеркала. При смещении вдоль поверхности зеркала сумма F1A + F2A, а с ней и время распространения света из F1 в F2 не изменяются. Вариация времени распространения при таком смещении равна нулю. Однако это время ни минимально, ни максимально —¦ оно постоянно. Именно по этой причине любой луч, вышедший из F1, обязательно пройдет через F2, в какой бы точке зеркала он
ни отразился. Убедиться в этом можно с помощью таких же рассуждений, какие были приведены в пункте 3.
Вообразим теперь зеркало S, касающееся эллипсоида в точке А, обращенное ,вогнутостью в ту же сторону, что и эллипсоид, но имеющее большую кривизну. Световой луч F1A после отражения от этого зеркала снова попадает в точ-Рис- 26. ку F2. Однако при смещении точки А
по поверхности зеркала 5 длина ломаной F1AF2 уменьшается. Следовательно, время распространения света из F1 в F2 вдоль действительного пути максимально. Наоборот, если взять зеркало S', имеющее в точке касания меньшую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения света вдоль действительного пути будет минимально. В частности, оно минимально при отражении от плоского зеркала. Допустим, наконец, что зеркало SAS' имеет в А точку перегиба. Тогда при смещении точки падения луча по поверхности этого зеркала время распространения либо увеличится, либо уменьшится, либо останется неизменным, в зависимости от направления смещения.
6. Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие анабер-рационной поверхности. Пусть точка P находится в однородной среде с показателем преломления п, а точка P' — в однородной среде с показателем преломления п' (рис. 27). Поверхность AA', вдоль которой среды граничат друг с другом, называется анаберрационной, если любая точка А этой поверхности удовлетворяет условию
п ¦ PA + п' • AP' = C = const.
Для случая преломления анаберрационная поверхность имеет форму так называемого картезианского овала (см. задачу 2 к § 9). Он обращен вогнутостью в сторону более преломляющей среды (п' > п). Анаберрационная поверхность делит пространство на две части, обладающие следующим свойством. Если точка M расположена в менее преломляющей среде, то сумма п -PM + п' -MP' принцип ферма
53
больше С; если же она лежит в более преломляющей среде, то эта сумма меньше С. ,
Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки Р, после преломления на анаберрационной поверхности обязательно пройдет через точку P'. Действительно, пусть PA — падающий луч, as — единичный вектор, направленный вдоль него. Соединим точку А с точкой P' и обозначим через s' единичный вектор, направленный вдоль прямой AP'. По определению анаберрационной поверхности вариация оптической длины ломаной PAP'при смещении точки А по анаберрационной поверхности будет равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были проведены в пункте 2, найдем, что вектор ns — n's' перпендикулярен к анаберрационной поверхности в точке А. Отсюда следует, что AP' дает направление преломленного луча.
