Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Результат (97.15) остается верным и в квантовой статистике, Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить интеграл (97.12) суммой
?=2 g| exP (-a^i).
где %і — энергии квантовых уровней подсистемы, а gi — кратности этих уровней. Суммирование производится по всем квантовым состояниям подсистемы (см. т. II, § 85).
В случае ^макроскопической подсистемы, объем которой поддерживается постоянным, <? имеет смысл внутренней энергии подсистемы, а dMldT — ее
(97.13)
(97.14) 596
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
' [ГЛ. VIII
теплоемкости Cv при постоянном объеме, Тогда из формулы (97,15) получается
*)v=kT*Cv. (97.17)
Значок V слева указывает на то, что величина (Affi)v есть средний квадрат флуктуации энергии подсистемы при сохранении ее объема V постоянным.
7. Рассмотрим теперь флуктуации энтальпии I подсистемы. Для этого воспользуемся следующим искусственным приемом. Предположим, что подсистема заключена в оболочку с идеально проводящими подвижными стенками, так что объем подсистемы не сохраняется постоянным, Пусть оболочка снаружи подвергается действию постоянных внешних сил, поддерживающих внешнее давление P постоянным. Эти силы увеличивают потенциальную энергию подсистемы на величину PV. Если под % понимать ту же энергию, что и в предыдущем выводе, то с учетом дополнительной потенциальной энергий PV среднее значение полной энергии подсистемы будет <1+ PV; Но это есть энтальпия подсистемы I. Все предыдущие рассуждения можно повторить без изменений, заменив % на % + PVi В результате вместо формулы (97,15) получится
(А?= (97.18)
Но при P = const производная dlldT есть теплоемкость Cp подсистемы при постоянном давлении, а потому
(AT2)p = кТЮр. (97.19)
8. Распространим теперь термодинамический метод вычисления флуктуаций, изложенный выше, на любые величины, характеризующие макроскопические свойства подсистем. Ограничимся при этом изотропными телами. Для них любая термодинамическая величина в состоянии термодинамического равновесия есть функция двух других термодинамических величин, которые могут быть приняты за независимые переменные. Термодинамические величины макроскопических подсистем хотя и испытывают флуктуации, но -в случае- малости таких подсистем их мгновенные состояния практически равновесны. Они также определяются двумя независимыми переменными. Поэтому задача сводится к вычислению тепловых флуктуаций таких двух независимых переменных. В окончательном результате, определяющем значение среднего квадрата той или иной флуктуации, необходимо указывать, какая из двух величин, выбранных для характеристики состояния подсистемы, поддерживается постоянной. Иначе самый результат будет неопределенным, а потому и бессмысленным. __-
Покажем на примерах, как применяется изложенный метод к вычислению ,флуктуаций различных физических величин.
Начнем с флуктуаций температуры, предполагая, что рассматриваемая макроскопическая подсистема находится в тепловом контакте с термостатом. Считая температуру подсистемы функцией независимых переменных V и Ш, напишем
^ - ¦ /*г\ дл.
&T-[rvlAV + W)v
В силу независимости V и ^s имеем: AV-A^f = O, а потому
При постоянном объеме производная (d'SidT)v есть теплоемкость подсистемы Cv, Тогда из формулы (97,17) находим
(A^)v = А (ДІ~% =I^. (97.20) § 98] рассеяние света 597
Вычислим теперь флуктуации энтропии S подсистемы. В качестве независимых переменных выберем VkB. Рассуждая как в предыдущем примере, напишем
X^g = O, (AS% = (^ (Xi5V
Так как dS/di = 1/Г, то с учетом (97.17)
(ASS)v=ACr (97.21)
Если бы за независимые переменные были приняты P и /»то получилось бы
(AS2)p = kCр. (97.22)
Рассмотрим теперь флуктуации давления P1 Примем за независимые переменные У и Т, Тогда
WTEY=O, (W2)r = (^rJr (W2)t,
или на основании формулы (97.9)
(AP2)t = -kT ^r. (97.23)
Приняв за независимые переменные P и S, мы получили бы
^ = -^(?-V*7' (JJ)r , (97.24,
где Y = CplCv. При этом было использовано термодинамическое соотношение . (^)r = V(cM.T. П,§47).
Вычислим, наконец, флуктуации плотности вещеетва р в объеме V. Задача сводится просто к преобразованию формулы (97.9). Прежде всего заметим, что величина V dP/dV не зависит от величины объема V. Поэтому в таком выражении V можно заменить удельным объемом вещества v. Тогда
(W2)t =__.
^v >т v(dP/dv)r Так как масса вещества Vp в объеме V остается постоянной, то V А р -j- р AV = 0, Следовательно, (Ар)2 = ) (AV)2, а потому
v^r-^wkr- (97-25)
Чем меньше объем V, тем больше относительные флуктуации плотности в нем.
§ 98. Рассеяние света
1. В прозрачной однородной среде бегущая плоская волна распространяется только в прямом направлении, не испытывая рассеяния в стороны. (Мы отвлекаемся от дифракции, предполагая, что ширина фронта волны достаточно велика, а следовательно, угол дифракционной расходимости мал.) Допустим теперь, что оптическая однородность среды нарушена, например множеством мельчайших частиц постороннего вещества, беспорядочно распределенных по объему среды. Примерами могут^служить пыльный воздух,
