Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
3. Применим формулу (97.4) к вычислению флуктуаций числа молекул в фиксированном объеме V идеального газа. Пусть в большом закрытом сосуде объема V в отсутствие силовых полей находятся N молекул идеального газа. Разделим объем V на г = Vh одинаковых объемчиков Vi величиной v каждый. Если пі — число молекул в объемчике Vi, a N — в большом объеме V, то N = = 2 И;. Среднее число молекул Hi в объемчике Vi будет щ = п = NvlV, т. е, одно и то же во всех объемчиках. Представим его в виде п = Np, где р = v/V — вероятность нахождения молекулы в объемчике v. Возьмем теперь в качестве fa следующие величины: /,- = 1, если і-я молекула находится внутри объемчика v, и fi = 0, если она находится в оставшемся объеме V — о. Тогда число молекул п в объемчике с можно представить в виде п = 2/(. предполагая, что суммирование ведется по всем N молекулам объема V. Ясно, что = = f? = а потому Ji = Pi = f] = ... = р. Следовательно, по формуле (97.1)
Щ = Ff-(JiF = P-P2 = P(I-P)-
А так как в случае идеального газа величины flt /2, /3, ... статистически независимы, то по формуле (97.4)
- An2 = Np(I-P) = (I-P)H. ' ¦ (97 6)
Если объем V бесконечно велик, то р -»- 0, а следовательно,
Ani = H.
(97.7) 594
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
' [ГЛ. VIII
Отсюда получаем для относительной флуктуации плотности газа
YWlp=>\lVn. (97.8)
4. Более общий метод вычисления флуктуаций плотности, применимый также к жидкостям и твердым телам, основан на теореме о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Рассмотрим малую часть жидкости или газа, окруженную такой же жидкой или газообразной средой, температура которой T поддерживается постоянной (термостатом). С целью упрощения и наглядности вычислений предположим, что эта малая часть жидкости или газа заключена в цилиндр с поршнем. Стенки цилиндра идеально проводят тепло, а поршень может ходить в нем без трения. Тогда наличие стенок цилиндра и поршня не будет препятствовать обмену энергией и выравниванию давлений между веществом в цилиндре и термостатом. Благодаря тепловому движению поршень будет совершать броуновское движение. К нему мы и применим теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.
Поршень можно рассматривать как гармонический осциллятор, совершающий тепловые колебания. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении на X из положения равновесия х == 0 равно 1I3 хх2 = V2 kT, где к — коэффициент упругости, соответствующий такому смещению. Если S — площадь поршня, a AV — изменение объема системы, то AV = Sx. Таким образом, (AV)3 = = S2X2 = S2&77x, Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, будет
QP
F = S^x, где P — давление газа или жидкости, Поэтому к = —S дР/дх = = —S2dP/dV, В результате получим
- - W^VTt — И- (SVfdP)r (97.9)
Значок T указывает, что в выводе предполагалось постоянство температуры окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема V было адиабатически изолировано, то T следовало бы заменить на S (постоянство энтропии), т. е,
(AF2)s = — kT (dV/dP)s. (97.10)
Формулы (97.9) и (97.10) выражают флуктуации объема одной и той же массы вещества, находящейся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Для идеального газа при постоянстве температуры PV = const, так что (dVldP)r = —VIP, А так как PV = nkT, где п — число молекул в объеме V,
то из формулы (97,9) получаем (AV)5 = V2Iti. Пусть теперь обвем V фиксирован, а число молекул в нем п меняется из-за тепловых флуктуации. Если бы объем V увеличился на AV, то число молекул в прежнем объеме V уменьшилось бы на
An = п AVIV, Отсюда ___
(An)2=(n/V)a (AV)2 = n=n, что совпадает с прежним результатом (97.7). В окончательном результате различием между п и п можно пренебречь, что мы и сделали,
5. Перейдем теперь к вычислению флуктуаций энергии. С целью лучшего уяснения метода начнем с вычисления флуктуаций кинетической энергии Ш молекулы одноатомного идеального газа, Согласно максвелловскому закону распределения скоростей,
M = (97.11)
где a = IZ(AT1)1 dr — элемент объема пространства скоростей, a Z определяется условием нормировки:
Z = ]e-«edT. * (97.12) О ТЕПЛОВЫХ ФЛУКТУАЦИЯХ
595
Дифференцируя это соотношение по параметру ос, получим и формула (97,11) перейдет в
S 1 dZ
Отсюда
M___, ±_(dZ_\2___Id2Z -Z
da ~ Z da2 + Z2 \da) ~ Z da2 + '
Аналогично,
Сравнение этой формулы с предыдущей дает
^=IMt)2 = - J-, -
или после подстановки значения параметра a = 1 l(kT)
= (97.15)
Так как для идеального одноатомного газа % = 8/а kT, то
= (97.16)
6. Приведенный метод вычисления (ДШ)% может быть распространен практически без изменений на более общие и важные случаи. Выделим", например, малую часть (подсистему) изотропной среды (жидкости или газа), находящуюся в статистическом равновесии со всей средой, температура T которой поддерживается постоянной. По отношению к выделенной подсистеме окружающая среда играет роль термостата. Из-за обмена энергией между термостатом и подсистемой энергия последней будет непрерывно флуктуировать. Беспорядочные изменения энергии подсистемы подчиняются статистическому закону, вполне аналогичному максвелловскому закону распределения кинетической энергии между молекулами. Поэтому среднее значение энергии подсистемы будет выражаться* прежней формулой (97.13), где а имеет прежнее значение, а интегрирование в выражении (97.12) производится по многомерному пространству координат и импульсов подсистемы. В этом единственное отличие рассматриваемого случая от предыдущего. Но оно совсем не отражается на последующих выкладках. Поэтому окончательный результат (97.15) применим к рассматриваемой подсистеме без всяких изменений.
