Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
X'
Рис. 320. 588
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
' [ГЛ. VIII
Но в силу определения тензора уПт в повернутой системе координат соотношение между Dx и компонентами вектора E можно записать в прежней форме (96.11). Сравнение обоих соотношений Дает ухху = yxxz, yxxz == —ухху, откуда ухху = уххг = 0 и т. д. Кроме того, уXyZ = —Ухгу и т. д.
Что касается коэффициента уххх, то он равен нулю. Действительно, в силу симметрии уххх = Уууу = уггг. Повернем исходную систему координат вокруг оси Z на угол 90°, чтобы ось Y приняла отрицательное направление прежней оси X. Тогда в (96.11), оставляя коэффициенты неизменными, следует сделать замену х -> —у, Dx -S- —Dy, Ex-* — Еу, что дает
Dy = &Еу -j- уххх (-...
С другой стороны, на основании определения тензора yjlm в повернутой системе можно сразу написать
Dy = вЕу +УуууЦЦ- + ...
Отсюда, ввиду равенства уххх = уууу, получаем уххх = 0.
Таким образом, все компоненты тензора yjlm обращаются в нуль, если какие-либо два из индексов /, I, т одинаковы, независимо от значения третьего индекса. Отличны от нуля только компоненты, у которых все три индекса различны. При этом при перестановке любых соседних индексов составляющая тензора уцт меняет знак. Следовательно, можно написать
У xyz = — YiIXZ = У у ZX = — У zyx = Y zxy = — У хг у == —g- (96.1 2)
В результате (96.11) перейдет в
ь-вМЧг-Ч?)-
или в векторной форме
D = e?+grot?. (96.13)
Если каждая точка среды является центром симметрии, то при отражении в этом центре среда переходит сама в себя, а потому тензор уJtrn при таком отражении должен оставаться неизменным. Но при этом правая система координат переходит в левую, а знаки координат X, у, г и компонент полярных векторов EuD меняются на противоположные, так что (96.10) переходит в
-Dj^-eEj + yj,^.
Следовательно, y;7m = 0, т. е. вращение плоскости поляризации невозможно. Для возможности вращения необходимо, чтобы молекулы жидкости или кристаллов кубической системы не имели центров симметрии. § 96] временная и пространственная дисперсия 589
Заметим еще, что в случае изотропной естественно-активной среды величина g есть псевдоскаляр, а не истинный скаляр (см. т. I, § 7). При переходе от правой системы координат к левой или наоборот знак этой величины меняется на противоположны^. Это непосредственно видно из соотношения (96.12), которое показывает, что уjim есть полностью антисимметричный псевдотензор.
5. По аналогии с формулой (96.13) можно написать
B = H + g'rotH, (96.14)
где g' — новый псевдоскаляр. Магнитную проницаемость р, мы при этом приняли равной единице. Введение добавочного члена g' rot H необходимо для выполнения закона сохранения энергии. Действительно, используя уравнения Максвелла, приведем соотношения (96.13) и (96.14) к виду
- B-tf-f?;
Эти уравнения можно упростить. Для этого подставим второе выражение в первое, а первое во второе и отбросим лри этом произведение gg', как величину более высокого порядка малости. Тогда получим
- = Я = If. (96.15)
Теперь воспользуемся результатом электродинамики, согласно которому величина ED + HB равна производной по времени от (умноженной на 8я) плотности электромагнитной энергии (см. т. III, § 84). Используя (96.15), преобразуем это выражение к виду
ED + HB=(EEE+HH) + y(eg'EE-gHH).
Первый член справа есть производная от V2 (є/? + /У3). Следовательно, и второй член должен быть производной по времени or некоторой функции, Это будет действительно так, если выполняется соотношение eg' = g, так как тогда
eg'ЕЁ - gHH = g J- (ЕЁ -HH).
Тем самым доказана необходимость введения второго члена в формуле (96.14), а формулы (96.15) приводятся к окончательному виду
D^eE-JLft B = (96.16)
6. Теперь мы располагаем полной системой уравнений для монохроматических волн в однородной естественно-активной среде. 590
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
' [ГЛ. VIII
Из уравнений div D = 0 и div B = 0 следует, что плоские волны в такой среде поперечны относительно векторов DuB. Они поперечны также относительно векторов E и Н, так как из уравнений (96.13) и (96.14) следует, что div ? = div H = 0. Подставив далее выражения (96.16) в уравнения Максвелла
, j. 1 3D , - 1 dB
rot// = 7?' rot^ = -TaF-
получим
. „ ъ дЕ g д*Н
ІШ. Ia (96Л7)
rot с - с dt C2 dt*'
Допустим, что волна плоская и распространяется в положительном направлении оси Z. Тогда отличными от нуля будут только компоненты Ex и Ey, Hx и Hy, причем эти величины зависят только от одной координаты z. С учетом этого запишем уравнения (96.17) в координатной форме
дЕх ^ 1 дНу g д2Еу
дг с dt с* dt* ' :
дг с dt ^ с2 дР
и аналогично для производных дНх/дг и дНу/дг. Здесь все величины вещественные. Для упрощения рассуждений удобно ввести комплексные комбинации
Е+ - ^X ^ ^y * E— - Ejc t Ey у
H+ = Hx + iHy, H- = Hx-ІНУ, ^
Вещественная часть комплексного числа Е+ дает компоненту Ev, а коэффициент при мнимой части — компоненту Ey, и т. д. Однако при исследовании явлений круговой поляризации удобнее оперировать непосредственно с самими комплексными комбинациями, не переходя к вещественной форме. Например, если совершаются гармонические колебания Ex = A cos соt, Ey = A sin at, то Е+ = = Aeiat. Точка, изображающая комплексное число Е+, движется в комплексной плоскости по кругу в направлении от оси X к оси Y, т. е. представляет волну, поляризованную по левому кругу. Аналогично, комплексная комбинация Е_ описывает волну, поляризованную по правому кругу.
