Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики. Том 4. Оптика " -> 24

Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 4. Оптика — Оптика, 1980. — 752 c.
Скачать (прямая ссылка): obshkfopt1980.djvuСкачать (прямая ссылка): optika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 331 >> Следующая


2. Предполагая волну монохроматической, запишем ее в виде

Е = а{г)ё^-к"ф\ (6.5)

где а {г) и Ф (г) — вещественные функции координат. Волновое число в вакууме k0 = а/с = 2л/к введено для удобства, как большой размерный параметр. Подставим выражение (6.5) в уравнение (6.4) и отделим вещественную часть от мнимой. В результате получим два уравнения:

(grad Ф)2 = п2 + , (6.6)

а АФ + 2 grad a grad Ф = 0.

(6.7)

Допустим теперь, что длина волны мала, а амплитуда а меняется в пространстве не очень быстро, так что соблюдается неравенство

г\ (6.8)

Д а _ Я2 I Да
4л2 I а

Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия

да дх

<а,

дЧ дх2

да дх

(6.9)

для любого направления оси X. Действительно, тогда

0?

г?

дх*

К —

дх



1) Предельный переход к геометрической оптике на основе векторных уравнений Максвелла пбдробно исследован в книге: Сивухин Д, В. Лекции по физической оптике, ч. И, Роталринтное издание, Новосибирск, 1969, 44

ВВЕДЕНИй

(ГЛ. I

что совпадает с (6.8), так как ] A« | — J д2а/дх21. Пренебрегая в (6.6) последним членом, получим

(grad Ф)а = «2. (6.10)

Уравнения (6.10) и (6.7) и составляют систему уравнений геометрической оптики. Из их вывода ясно, что условием применимости геометрической оптики является малость изменения амплитуды волны и ее первых пространственных производных на протяжении длины волны. В противном случае могут возникать заметные отступления от геометрической оптики. Это происходит, например, в следующих случаях: 1") на границе геометрической тени; 2) вблизи фокуса, т. е. геометрической точки, схождения лучей; 3) при распространении света в среде с резко меняющимся показателем преломления (например, в мутной среде); 4) при распространении света в сильно поглощающих средах (например, металлах).

3. Величину Ф Клаузиус (1822—1888) назвал эйконалом, а уравнение (6.10)—уравнением эйконала. Его можно записать в векторной форме:

grad® = ns, (6.11)

где S — единичный вектор нормали к фронту волны

COZ1 — /е0Ф = const, (6.12)

проведенный в сторону ее распространения.

Уравнение эйконала определяет скорость распространения волнового фронта в направлении нормали s. Действительно, на основании определения градиента щшно записать (6.11) в виде дФ/os = п. С другой стороны, дифференцирование уравнения распространения волнового фронта (6.12) дает со dt = k0 сіФ, или

* ,, ш M , ш , а ,

со dt =--н— as = — nds = — as.

с ds с V

Отсюда для нормальной скорости волнового фронта находим

4T = V> (6ЛЗ)

т. е. эта скорость такая же, как у плоской волны. Этого и следовало ожидать, так как малый участок волнового фронта в малых объемах пространства должен вести себя как плоский. Полученный результат позволяет построить волновой фронт F2 в момент времени t + dt, если известно его положение Fi в момент t. Для этого из каждой точки исходного волнового фронта F1 (рис. 19) следует отложить в направлении нормали отрезок длиной v dt. Соединив концы всех таких отрезков, мы и получим волновой фронт Fi в момент t + dt. Вместо этого можно из каждой точки волнового фронта F1, как из центра, описать сферы радиусом v dt. Огибающая таких сфер и ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ

45

будет волновым фронтом F2. Оба построения совершенно эквивалентны. Тем самым построение Гюйгенса (см. § 3, пункт 4) распространяется и на волны в неоднородных средах.

4. Второе уравнение геометрической оптики (6.7) теперь можно записать в виде

а ДФ -\-2п~ — 0. (6.14)

Если определить луч как ортогональную траекторию к семейству волновых фронтов, или семейству равных фаз (6.12), то взятие про-

изводной по S можно понимать в смысле дифференцирования по длине луча s. Интегрируя уравнение (6.14) вдоль луча, придем к соотношению

a = o0exp^— j 4^-dsj, (6.15)

где а0 — амплитуда в «начальной точке» луча, от которой отсчиты-вается длина s. Формула (6.15) показывает, что для определения волнового поля во всех точках луча достаточно знать его значение в какой-либо одной точке того же луча. Но уравнения геометрической оптики ничего не могут сказать относительно изменения амплитуды поля при переходе от одного луча к соседнему. Они допускают любые изменения амплитуды от луча к лучу. Необходима только достаточная медленность такого изменения, чтобы волна, формально удовлетворяющая уравнениям геометрической оптики, могла быть реализована в действительности. Таким образом, в приближении геометрической оптики световое поле на всяком луче совершенно не зависит от полей других лучей.

Отсюда следует основное представление геометрической оптики о распространении световой энергии вдоль лучей, точнее — вдоль «лучевых трубок», образованных лучами. Отсюда также следует, что при нахождении волнового фронта построением Гюйгенса новый волновой фронт не выходит за пределы огибающей вторичных сферических волн Гюйгенса. Тем самым дано полное обоснование гипо- 46

ВВЕДЕНИй

(ГЛ. i

тезы Гюйгенса об огибающей и показано, что эта гипотеза справедлива только в приближении геометрической оптики.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 331 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed