Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
2. Смысл формулы (88.1) полезно уяснить на примере газа классических гармонических осцилляторов в монохроматическом электрическом поле с часто-*ой со. ТЗдали от собственной частоты 0? осциллятора можно пренебречь затуха- 544 молекулярная оптика ' [ГЛ. VIII
нием. Тогда смещение осциллятора из положения равновесия выразится формулой
еЕ
Г~ m(cog — со2)'
В этом случае энергия слагается из энергии самого электромагнитного поля (т. е. ноля в вакууме) и из энергии частиц, находящихся в поле. Последняя энергия в свою очередь состоит из кинетической и потенциальной энергии колеблющихся осцилляторов. В статических полях кинетической энергии нет. Это приводит к формуле w = е?2/(8я). В переменных полях кинетическую энергию надо учитывать, что и делается ниже.
Плотность собственно энергии электрического поля равна
1 ( E4-Е* \2 E1 ЕЕ* Wl = ~&n \ ~2 j =W + -ЗйГ + компл- С0ПР-
Плотность потенциальной энергии: Nmal
а>2 =
2
Плотность кинетической энергии
Nm ( г+ г* \2 Nmafi
>1 [r+r* \2 Nmal , „ , , — ( —^—J =—g—(г2+rr *) + компл. сопр.
2
/г + г*\2 Nma2l0 (——I =--g—(г2 —rr*) +компл. сопр.
Подставляя сюда выражение для г и замечая, что из формулы Зельмейера следует
d((08)_=1 , (e-l)(?ug+C02)
da ^ cog — to2-получим для плотности электрической энергии: еЕ2 , 1 d(coe) ,
/
Усредняя по времени, получаем первую формулу (88 1). Для плотности магнитной энергии имеем обычное выражение, как в недиспергирующей среде.
ЗАДАЧИ
1. Рэлей предложил определять среднюю скорость движения энергии и в плоской бегущей волне как отношение средней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии. Пользуясь выражением для вектора Пойнтинга, пока' зать, что так определенная скорость в случае монохроматической электромагнитной волны совпадает с групповой скоростью.
Решение. Для средних плотностей энергии и ее потока нетрудно получить
_ с 8я
откуда и следует требуемый результат.
2. Показать, что если е(со) и ц(со) положительны, то фазовая и групповая скорости в электромагнитной волне направлены в одну сторону. Решение, Средняя плотность электромагнитной энергии § 89] ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА И УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЯ &45
_существенно положительная величина. В плоской вблне ? (ЕЕ*) = ц (HH*),
Поэтому
rf(we) Ji d (to]t) Q da в da
Это неравенство должно соблюдаться для любых сред, у которых знаки е и fi совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой к2 = ецш2/с2 > 0. В том же предположении имеет смысл говорить о групповой скорости. Преобразовав предыдущее неравенство к виду
(О da> „
легко получить требуемый результат,
§ 89. Поглощение света и уширение спектральных линий
1. В классической теории дисперсии поглощение (затухание) излучения учитывается формально с помощью тормозящей силы —gr = —2myv в уравнении (84.1). Благодаря этому амплитуда колебаний убывает во времени экспоненциально по закону ехр (—yt), а энергия колебаний — по закону
Ш = = Шае-ч\ (89.1)
Физическая природа тормозящей силы —gv при этом остается нераскрытой.
Планк развил теорию дисперсии и поглощения света в предположении, что колеблющийся осциллятор (электрон), двигаясь ускоренно, непрерывно теряет энергию на излучение. Эта убыль энергии на излучение определяется формулой
(см. т. III-, § 141). Применим эту формулу к осциллятору. Если потеря энергии осциллятора за период колебаний относительно мала, то колебания будут отличаться от гармонических мало. Тогда можно считать, что средние за период колебаний значения кинетической и потенциальной энергий осциллятора одинаковы, а потому среднее значение его полной энергии равно удвоенному среднему значению кинетической энергии. Но полная энергия Ш слабо затухающего осциллятора в течение периода колебаний остается почти постоянной, так что S ^ В случае слабо затухающих колебаний V ^ V0 sin (&0t + б), v = ю0о0 cos (w^-fS). Возведя последнее соотношение в квадрат и усреднив по периоду колебаний, получим
(&) = cog <©2> = сolS/m. 546
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
' [ГЛ. VIII
Усреднив теперь по"времени формулу (89.2), найдем
d& _ 2g2<ag dt ~ Ztrufl
-Ш.
Отсюда снова получается формула вида (89.1). Таким образом, излучение проявляется так, как если бы на колеблющийся заряд действовала тормозящая сила —2myv, причем
1
3 тс3
(89.3)
Затухание, обусловленное излучением, называется естественным затуханием. Время естественного затухания тизл, в течение которого энергия убывает в е раз, равно
Тизл
2?
Ътс3 2еЧ>Л
Ътс 8я%2
K2
8п2 \ г j \
(89.4)
где г = e2/(mc2) = 2,8 • IO"13 см — классический радиус электрона. Для длины волны К = 600 нм эта формула дает тизл = 1,63-10"* с.
2. Затухание делает колебания немонохроматическими. Это приводит к уиіирению спектральных линий. Ширина спектральной линии, обусловленная затуханием вследствие излучения, называется естественной шириной спектральной линии. Для ее вычисления поле излучения E = E0 ехр (—yt) sin <»0/ надо разложить
