Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
k = k'-ik", (5.15)
где векторы ft' и ft" — вещественные. В этом случае волну называют неоднородной, в отличие от 'однородной волны, у которой волновой вектор ft вещественный. Электрический вектор неоднородной волны можно представить в виде
E= Е0е-""'е1^-"'rK (5.16)
Это выражение можно рассматривать как волну, амплитуда которой равна E0e~h"r. Она экспоненциально убывает в направлении вектора ft". Для такой волны можно говорить о поверхностях равных амплитуд и поверхностях равных фаз. Поверхности равных амплитуд суть плоскости, перпендикулярные к вектору ft". Поверхности равных фаз также плоскости, но перпендикулярные к вектору ft'. В непоглощающей изотропной среде плоскости равных амплитуд и равных фаз взаимно перпендикулярны. Для доказательства подставим выражение (5.15) в формулу (5.14). Отделяя вещественную часть от мнимой, найдем
ft'2-r2 = -J8, (ft'ft") = 0. (5.17)
Из второго соотношения видно, что векторы ft' и ft", а следовательно и плоскости равных амплитуд и фаз, взаимно перпендикулярны. Для поглощающих сред это утверждение, вообще говоря, не справедливо.
-Чтобы получить более отчетливое представление о неоднородной волне, запишем ее в вещественной форме. Направим ось X вдоль вектора ft', а ось Z — вдоль вектора ft". Кроме того, положим E0X = Ax exp (ibx) и аналогично для Eoy и E0z. Тогда неоднородную волну (5.16) в вещественной форме можно представить так:
Ex = Ахе~ k"z cos (<i>t — k'x + 6*), Ey = Ауе~ к"г cos (ю/ — k'x + by), Ez = Агег к"г cos (ю/ - k'x + 6,).
Плоскости равных фаз распространяются в направлении оси X со скоростью v' = co/ft'. Она меньше скорости однородных волн с/У г, поскольку k' > о) У&/с, как это следует из (5.17). Амплитуда убывает в направлении оси Z. Когда г ->— оо, амплитуда неоднородной волны возрастает неограниченно. Поэтому плоские неоднородные волны в неограниченной среде существовать не могут; Но они могут при определенных условиях возникать вблизи границы среды. Так, например, такие волны возникают в оптически менее 42
введение
УЛ. Ї
плотной среде при полном отражении света (см. § 66). Поле неоднородной волны заметно лишь в пограничном слое, толщина которого порядка длины волны. По этой причина неоднородные волны называют также поверхностными волнами.
ЗАДАЧА
Оценить напряженность поля солнечного цздуцщщ вблчзи земной поверхности, если величина солнечной постоянной Составляет рколо 2 кал-см""2 і^ин""1 = = I1Sg-IO6Spr-CM-2C"1. Солнечной постоянной называется количество энергии, попадающей от Солнца (при его среднем удалении ОТ Земли) за единицу времени на единицу площади земной поверхности, перпендикулярной к излучению (при отсутствии абсорбции в атмосфере). •
Решение. Волну, излучаемую Солнцем, у земной ірверзцшсти {ножно считать плоской. В такой волне Seff1 поскольку для вакуума 1,
с с
Плотность потока энергии ЕН^-щ ?а, Приравнивая среднее значение этой величины значению солнечной постоянной, получим
-^?3=1,39-10«, откуда ?2 = 5,85-10-*, VW'=0,024 СГСЭ=7,2 В/см.
§ 6. Предельный переход от волновой оптики к геометрической
1. Геометрическая оптика является приближенным предельным случаем, в который переходит волновая оптика, когда длина световой волны стремится к нулю. Чтобы показать это, надо было бы исходить из уравнений Максвелла в неоднородных средах. Однако такой путь приводит к громоздким вычислениям. Мы поступим иначе. Среду, в которой распространяется свет, будем считать прозрачной и однородной. Предполагая сначала, что она изотропна, исключим из уравнений (5.1) и (5.2) вектор Ц, С этой целью первое уравнение (5.1) дифференцируем по t, а от обеих частей второго возьмем операцию rot, воспользовавшись при этом векторной формулой
rot rot E = grad div ? — AE х), (6.1)
где А — оператор Лапласа в прямоугольной системе координат, т. е.
A = V*= +^-4- iL /с о\
Л — V дх* + ду* + дг*' (Ь-2>
Из полученных таким образом соотношений легко исключить Н. В результате получится
= (6-3)
1J Эту формулу легко получить, записав левую часть в виде [VJV?JJ и рас-
крыв по обычному правилу двойное векторное произведение. При этом надо
только помнить, что векторы V и ? нельзя переставлять, Таким путем получаем:
V (V?) — V2?, т. е, правую часть (6,1). • ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ
43
где V определяется прежним выражением (5.9). Уравнение (6.3) называется волновым. Такому же уравнению удовлетворяет и вектор Н.
Для неоднородных сред уравнение (6.3) усложняется. Однако, если интересоваться только интенсивностью волн, отвлекаясь от их поляризации, то оказывается, что в предельном случае геометрической оптики уравнение (6.3) приводит к правильным результатамх). Поэтому даже в случае неоднородных сред предельный переход к геометрической оптике можно выполнить на основе волнового уравнения
в котором E означает длину вектора Е, а скорость v считается известной функцией координат. Хотя такой путь и не вполне удовлетворителен, но на нем проще уяснить метод, применяемый при обосновании геометрической оптики. Результаты, к которым мы придем, применимы не только к световым, но и ко всем другим волнам, например акустическим или волнам де Бройля в квантовой механике.
