Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
NxSx , NzSz п а\—Ф "г" а| — Ф
Отсюда
O-INxSx +CilNzSz = и? (Ns).
Ввиду соотношения (81.3), и (Ns) = v = ау. Следовательно,
(a*zNxsx + а»Nzsz) (Nxsx + NzSz) = а».
Рассмотрим произвольную точку на луче S с радиусом-вектором г (х, у, г). Очевидно, ха = rsa, и предыдущее соотношение переходит в
[a\Nxx+a'yNzzj (NxX + Nzz) = а* (х*+y*+z»). (82.1)
Это однородное уравнение второго порядка представляет конус. Образующими конуса являются лучи, соответствующие волновой нормали N, параллельной одной из двух оптических осей второго рода. Конус (82.1) называется конусом внутренней конической рефракции. Волновая нормаль есть одна из образующих конуса (82.1). Это следует из того, что направления S и N совпадают, когда вектор D параллелен диэлектрической оси Y.
2. Конус внутренней конической рефракции пересекается фронтом волны
Nr = NxX -f- NzZ = ау (82.2)
по кругу. В самом деле, линия пересечения определяется системой уравнений (82.1) и (82.2), равносильной системе
a\Nxx + a* NzZ = ау (к"-+ г2)>
X
Nr=ay.
(82.3)
Рис. 290.
Первое уравнение есть уравнение сферы, второе — уравнение плоскости. Их пересечение есть круг, и наше утверждение доказано.
Определим угол раствора конуса внутренней конической рефракции, точнее — угол X, получающийся от пересечения этого конуса плоскостью ZX, проходящей через эптическую ось кристалла (рис. 290). Когда вектор D направлен вдоль диэлектрической оси Y, векторы S и N, а также оптическая ось второго рода совпадают по направлению. Если же вектор D лежит в плоскости ZX, то в той же плоскости будет лежать и луч s, так как четыре вектора Е, D,s, N всегда должны лежать в одной плоскости (см. § 75). Искомый угол ос будет равен углу между векторами D и Е, поскольку стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Его легко определить из формулы (75.8), так как в рассматриваемом случае нормальная скорость V равна ау, Формула (75.8) дает
cos
D ( ау\2 SlO
КРИСТАЛЛООПТИКА
[ГЛ. VII
Как видно из рис. 290, Dx = —D cos ?, Dz = D sin ?, где ? — угол между оптической осью второго рода и осью Z. Поэтому
Dx D coe?
с2
¦al
Xy
с®
Подставляя эти значения в выражение для cos %, получим
COSx =
аа и
откуда
Yaix cos2 ? + a| sin2 ? ' tg"/ =-^- У а*хсо& ?-fa«sin2?-aj.
Использовав формулу (80.17), после несложных преобразований найдем
tg X= -^-V №~al) (aI-
'(82.4)
Конус внутренней конической рефракции пересекает лучевую поверхность по кругу, вдоль которого ее касается фронт волны. Это непосредственно следует из теоремы, доказанной в § 81 (пункт 2).
3. Теорема обращения распространяет полученные результаты на лучи Если луч в двуосном кристалле направлен вдоль одной из оптических осей пер вого рода, то ему соответствует бесконечное множество волновых нормалей образующих конус. Этот конус называется конусом внешней конической рефрак ции. Луч есть одна из образующих этого конуса. Сечение конуса внешней кони ческой рефракции плоскостью, перпендикулярной лучу, есть круг. Угол раст вора конуса определяется уравнением
* ^/(4-4)(4-?^^*-^ (82-5)
Проведем касательную плоскость к лучевой поверхности в точке S пересечения ее с лучевой осью. Такая плоскость будет перпендикулярна к волновой
нормали. А так как волновых нормалей, соответствующих лучу, направленному вдоль лучевой оси, бесконечно много, то в точке S можно провести бесконечное множество касательных плоскостей к лучевой поверхности. Это означает, что в окрестности такой точки лучевая поверхность имеет воронкообразную форму.
На рис. 291 представлено сечение поверхности нормалей и лучевой поверхности плоскостью ZX. Точка N есть двойная точка поверхности нормалей, ON — оптическая ось второго рода. Перпендикуляр NA к этой оси дает сечение фронта волны плоскостью рисунка. Прямая NA касается лучевой поверхности в точке А, угол X= /.NOA есть угол раствора конуса внутренней конической рефракции, S — двойная точка лучевой поверхности, OS — лучевая ось. Касательная к лучевой поверхности в точке S пересекает поверхность нормалей в точке В; прямая OB будет одной из волновых нормалей, принадлежащих лучу OS1 Сам луч OS является нормалью плоской волны, которая касается кругового сечения лучевой поверхности и = ау в точке S, Угол = /.SOB есть угол раствора конуса внешней конической рефракции.
Рис. 291. КОНИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ
511
' Каждому лучу, принадлежащему конусу внутренней конической рефракции, например лучу OA (рис. 291), соответствует вполне определенная линейная поляризация. В самом деле, в направлении OA могут распространяться два луча, электрические векторы которых взаимно перпендикулярны. Однако только один из них соответствует волне, распространяющейся вдоль волновой нормали' ON, Другому, лучу соответствует лучевая скорость OL и, следовательно, иное направление волновой Нормали. Аналогично, каждой волновой нормали, принадлежащей конусу внешней конической рефракции, также соответствует с пол не определенная линейная поляризация.
4. Волновой фронт AN, распространяющийся в направлении оптической оси второго рода ON, как было показано, касается лучевой поверхности по кругу, вдоль которого эта поверхность пересекается конусом внутренней конической рефракции. Такой волновой фронт не может пересекать лучевую поверхность. В самом деле, пересечем лучевую поверхность плоскостью ANO, проходящей через оптическую ось ON (рис. 292). В сечении получится кривая СБА. Если бы фронт AN пересекал лучевую поверхность, то, ввиду конечности лучевой скорости, на кривой CBA нашлись бы такие точки В, С, что проекции радиусов-векторов OB, ОС на направление ON были бы минимальны или максимальны. Если плоскость ANO проводить во всевозможных направлениях, проходящих через оптическую ось ON, то точки В, С опишут замкнутые кривые. На этих кривых в свою очередь найдутся точки, проекции радиусов-вектогов которых на
