Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
1) Необходимо, однако, отметить, что при наличии пространственной дисперсии кристаллы кубической системы могут быть оптически анизотропными. s 81]
ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ НОРМАЛИ
607
ЗАДАЧИ
1. Как надо ориентировать пластинку из двуосного кристалла, чтобы получить на кристалл-рефрактометре три главных показателя преломления?
Ответ. Перпендикулярно к любой из диэлектрических осей кристалла,
2. Исходя из соображений симметрии, показать, что все кристаллы три-, тетра- и гексагональной систем оптически одноосны.
§ 81. Лучи, волновые нормали и связь между ними
1. Распространение света в кристаллах, как и любых волн в анизотропных средах, характеризуется замечательной двойственностью, или взаимностью. Она обусловлена тем, что в анизотропных средах каждой волновой нормали соответствует луч, т. е. прямая, вдоль которой происходит распространение энергии волны. Поскольку энергия распространяется с групповой скоростью, для исследования свойств лучей и обоснования самого понятия луча надо вычислить групповую скорость в анизотропной среде. В этом случае такую скорость называют также лучевой скоростью. Для ее вычисления воспользуемся формулой (8.16), подставив в нее © = k v(k). Дифференцируя по ki и учитывая, что dk!dkt = kt!k, получим
да> ki і , dv -аг- — v -TT + k тп—. dkl k 1 dkl
Отсюда для "вектора групповой скорости находим
u = vN+k^, (81.1)
где N = k!k — единичный вектор волновой нормали, a v — нормальная скорость, т. е. скорость распространения фазы в направлении волновой нормали.
Групповая скорость и в анизотропной среде отличается от нормальной скорости v добавочным слагаемым kdv/dk. Это слагаемое в свою очередь содержит составляющую вдоль нормали N. Чтобы определить ее, заметим, что k = kN, а потому указанная составляющая равна k dvIdk. Поэтому для самой групповой скорости Un в направлении волновой нормали N можно написать
eHo+*&) Mo(81-2)
Этот результат совпадает с формулой Рэлея (8.6) для групповой скорости в изотропной среде. Этого и1 следовало ожидать, так как Он относится не ко всему вектору групповой скорости, а только
На эту возможность указывал еще Г. А. Лорентц. Только в 1960 г. Е. Ф. Гросс и А. А. Каплянский, исследуя спектры поглощения на монокристаллических образцах Cu8O, экспериментально обнаружили необычное для кубических кристаллов явление анизотропного поглощения света. 500
КРИСТАЛЛООПТИКА
ІГЛ. vir
к его проекции на направление волновой нормали. А вычисление такой проекции можно провести в точности так же, как и вычисление групповой скорости в изотропной среде.
Отличие uN от V обусловлено дисперсией волн, т. е. зависимостью нормальной скорости v от частоты со. Дисперсия в равной мере свойственна и изотропным, и анизотропным средам. Специфика распространения световых волн в кристаллах обусловлена не столько дисперсией, сколько отличием направлений волновых нормалей и лучей. Чтобы не вводить излишних усложнений, пренебрежем совсем дисперсией, т. е. будем считать кристаллы недиспер-гирующими. Тогда dv/dX = 0, а потому uN = vN, или uN = v. Но uN = (uN), так что
(uN) = v. (81.3)
2. Наряду с поверхностью нормалей, введенной в предыдущем параграфе, введем еще лучевую поверхность, называемую иногда также волновой поверхностью. Для этого из произвольной точки О во всевозможных направлениях будем проводить лучи и откладывать на них величины лучевой скорости в этих направлениях. Геометрическое место концов отложенных отрезков есть замкнутая поверхность, которая и называется лучевой поверхностью.
Если лучевую поверхность и поверхность нормалей строить из общего центра О, то между этими двумя поверхностями существует простая и важная связь. Для установления этой связи умножим формулу (81.3) на А и придадим ей вид
(uk) = со. (81.4)
Отсюда следует, что бесконечно малые изменения величин и, ft, со связаны соотношением (и 6ft) + (ft би) = бсо.По определению групповой скорости (и 6ft) = бсо. Следовательно, (ft би) = 0, или
(NSu) = O. (81.5)
Но и есть радиус-вектор лучевой поверхности, а потому всякий бесконечно малый вектор би лежит в плоскости, касательной к этой поверхности в соответствующей точке касания. Поэтому из формул (81.5) и (81.3) следует, что касательная плоскость к лучевой поверхности перпендикулярна к соответствующей волновой нормали и отсекает на ней отрезок, равный нормальной скорости волны. Отсюда в свою очередь следует, что лучевая поверхность есть огибающая плоских волн, распространившихся из ее центра за единицу времени в различных направлениях. Этими теоремами и устанавливается искомая геометрическая связь между лучевой поверхностью и поверхностью нормалей.
• Можно также сказать, что касательная плоскость к лучевой поверхности есть фронт волны, соответствующий лучу, проведенному в точку касания. В таком виде теорема допускает простую s 81]
ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ НОРМАЛИ
607
интерпретацию. Действительно, лучевая поверхность есть поверхность равных фаз, до которой световое возмущение от точечного источника доходит в течение одной секунды. Малый участок такой поверхности может рассматриваться как плоский. Если размеры участка очень велики по сравнению с длиной волны, то его распространение в течение ближайшего времени будет с достаточной точностью подчиняться законам геометрической оптики. Согласно этим законам, участок должен распространяться как безграничная плоская волна в направлении луча, причем лучевая и нормальная скорости будут связаны соотношением (81.3). Отсюда непосредственно следует, что волновой фронт есть касательная плоскость к лучевой поверхности.
