Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Отметим, наконец, что угол а между векторами EnD всегда острый. Это вытекает из того, что скалярное произведение (ED) = «= ED cos а пропорционально плотности электрической энергии, а она существенно положительна.
2. Обратимся теперь к исследованию плоских волн (75.3) в прозрачных кристаллах в общем виде. Фиксируем направление волновой нормали N и определим, какие плоские волны могут распространяться в этом направлении. Используя материальные уравнения (80.1), перепишем соотношение (75.7) в следующем виде:
(V2-O^)Da = -C2(NE)Na, (80.3)
где введено обозначение
Cia = с/УГа. (80.4)
Разделив на V2 — аа, получим
Da = —u^r (NE) Na. (80.5)
а
Умножим обе части этого соотношения на Na и просуммируем по а. Тогда
ДГ2
JiDaNa =(DN) = - с2 (NE) 2 ^zV = 0,
а а а
так как (DN) = 0. Скалярное произведение (NE), вообще говоря, отлично от нуля. Поэтому 494
КРИСТАЛЛООПТИКА
ІГЛ. vir
В развернутом виде
N*x NI NI ^і^Г + I^r + I^r - 0. (80.7)
а пссле освобождения от знаменателей F іь2) SE Nl (Vі - а,у) (Vі - a!) + Nl (v* - al) (v2 - al) +
+ Nl (Vі - al) (о» - а*) = 0. (80.8)
Хотя уравнение (80.8) мы и получили преобразованием уравнения (80.7), в действительности оно обладает большей общностью. Как видно из вывода, при получении (80.7) надо было вводить предположение, что Vі — а| ф 0 и (ZVE) ф 0. Уравнение (80.7) теряет смысл, когда по крайней мере одна из разностей Vі — а| обращается в нуль. Уравнение же (80.8) остается справедливым и в этом случае, как показывает несложное математическое исследование, которое мы опускаем.
3. Уравнение (80.6) или (80.8) называется законом Френеля для нормальной скорости распространения световых волн в кристалле. Если задать направление N, то из этих уравнений можно определить нормальную скорость v. Уравнение (80.8) второй степени относительно Л Докажем, что оно имеет вещественные и притом положительные корни. Для прозрачных кристаллов главные диэлектрические проницаемости, а с ними и величины а„, существенно положительны. При этом ввиду условия (80.2)
a* S= а«, а*. (80.9)
Придавая в функции F (Vg) аргументу V2 значения а', а', придем к неравенствам:
F (al) = N1x (al - al) (al - al) 0, F (al) = Nl (al - at) (а» - 0, F (al) = Nl (al - al) (al - сф) ^ 0.
Из них видно, что функция F (а2) дважды меняет знак: один раз между а\ и й|, другой — между а\ и а\. Следовательно, уравнение F (ьг) = 0 имеет два вещественных положительных корня: V1 и v], причем
ах Ss ^1Ss ^SsP2Ssa,. (80.10)
Отсюда следует, что в направлении N могут распространяться две волны: одна с нормальной скоростью V1, а другая с V2- В частных случаях скорости U1 и V2 могут совпадать.
Если скорости V1 и Vi различны, то каждая из волн будет поляризована линейно. Это следует из соотношения
Nx . Nu N U 80]
ВОЛНЫ В ДВУОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ
495
которое получается из (80.5) и в котором под о следует понимать либо O1, либо ог. Все величины, стоящие в правой части (80.11), вещественны. Значит, между компонентами Dx, Dy, D1 нет сдвигов фаз, отличающихся от 0 или я, а потому волна поляризована линейно.
Докажем, что если скорости O1 и Vi различны, то векторы D обеих волн, которые могут распространяться в направлении N, взаимно перпендикулярны. Отмечая величины, относящиеся к одной из волн, индексом 1, а к другой — индексом 2, из (75.7) получим
. Vs1D1 - C2Ei = — с2 (NE1) N, VlD2-C2Ei = -C2(NE2)N.
Умножимлервое уравнение скалярно на D2, второе на D1 и вычтем одно уравнение из другого. Так как (D1N) = (D2N) = 0, то в результате получим
(и? - D1D2 = Ci (E1Di - EiD1).
Но, очевидно, EfD2 = E2D1, так как каждое из этих скалярных произведений равно EaEiaEia. Следовательно,
(V3i-Vl)D1D2 = O.
Отсюда при O1 Ф O2 следует (D1D2) = 0, что и требовалось доказать. Аналогично докажем, что (B1B2) = 0.
Итак, в каждом направлении в кристалле могут распространяться две линейно поляризованные волны, скорости которых, вообще говоря, различны. Обе волны поперечны относительно векторов DuB. Векторы D (а также В) в этих волнах взаимно перпендикулярны. Относительно вектора E обе волны в кристалле не поперечны, за исключением тех случаев, когда вектор E параллелен одной из диэлектрических осей кристалла. Однако деление волн на обыкновенную и необыкновенную возможно только для одноосных кристаллов. В общем случае такое деление смысла не имеет — обе волны в кристалле ведут себя как «необыкновенные».
Чтобы выяснить физический смысл постоянных Oa, направим вектор E вдоль диэлектрической оси а. Тогда D — EaE, и уравнение (75.8) перейдет в
Г,2 — г2 8g?a = — = С&
откуда V-Oa. Таким образом, величина аа есть нормальная скорость распространения волны, у которой электрический вектор параллелен диэлектрической оси а. Это утверждение становится очевидным, если заметить, что в частном случае, когда электрическое поле параллельно диэлектрической оси, уравнения распространения волн в кристалле не отличаются от уравнений в изотропных средах. 496
КРИСТАЛЛООПТИКА
ІГЛ. vir
