Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Из изложенного следует, что геометрическую форму луча можно однозначно определить из закона Снеллиуса путем предельного 32
введений
(гл. i
перехода. Но закон Снеллиуса получается не только в волновой, но и в корпускулярной теории Ньютона. Поэтому при определении формы светового луча можно рассуждать так, как если бы свет состоял из ньютоновых корпускул, а показатель преломления п определялся формулой (3.3). Поскольку преломление определяется относительным показателем преломления, абсолютный показатель можно заменить величиной, ему пропорциональной. Ради краткости можно просто положить п — v. Скорость корпускулы V однозначно определяется уравнением сохранения энергии, а потому а можно рассматривать как известную функцию координат. Таким образом, траектория корпускулы в потенциальном поле сил геометрически совпадает с лучом света в сре-Рис. 14. де, показатель преломления п которой чис-
ленно равен v. Для этого, конечно, необходимо, чтобы исходные направления этих двух кривых были одинаковы. Эта формальная аналогия между движением частицы и распространением светового луча позволяет перенести результаты, полученные в световой оптике, в электронную микроскопию, где роль световых лучей выполняют электроны, движущиеся в потенциальных электрических полях.
Воспользуемся отмеченной аналогией для вычисления радиуса кривизны R светового луча. Нормальное ускорение корпускулы определяется формулой
то* - 9U
-R- =^jv = -W
где Fx — составляющая действующей силы F вдоль единичного вектора главной нормали N, a U — потенциальная энергия корпускулы. Дифференцируя вдоль N уравнение энергии V2 mv2 + + U = const, получаем Fn = mv dv/dN, а потому
J_ 1 dv
R = V dN '
Заменяя V на п, находим выражение для кривизны луча:
При этом ускорение корпускулы, а с ним и сила F не имеют составляющей вдоль бинормали b к траектории, т. е. Fb = —dU/db = = mv dv/db = 0. Отсюда dv/db = 0, а потому также dn/db = 0. Значит, вектор grad« лежит в соприкасающейся плоскости светового луча. Поэтому из всех направлений, перпендикулярных к лучу, направление главной нормали N характеризуется самым быстрым ? 41 искриёление свётовых лучей b неоднородных средах
33
изменением показателя преломления среды. Это значит, что в неоднородной среде луч изгибается в сторону наиболее быстрого изменения показателя преломления. Если среда однородна (п = const), то кривизна VR обращается в нуль, т. е. световые лучи прямолинейны.
2. Плотность земной атмосферы, а с ней и показатель преломления убывают с высотой. Этим объясняется ряд явлений, связанных с искривлением световых лучей. К ним относится, например, астрономическая рефракция, т. е. кажущееся поднятие небесного светила из-за искривления световых лучей в земной атмосфере. Если светило стоит высоко над горизонтом, то при расчете этого явления мы не сделаем заметной ошибки, считая поверхность Земли плоской. Но так поступать нельзя, когда светило находится вблизи горизонта. В этом случае надо учитывать сферичность земной поверхности.
» Пренебрежем малыми боковыми градиентами показателя преломления воздуха п и будем считать, что я зависит только от высоты над земной поверхностью или, что то же самое, от расстояния г от центра земного шара О (рис. 15). Световой луч AM от небесного светила будет лежать в вертикальной
плоскости, проходящей через это светило и глаз наблюдателя. На основании (4.1)
1 da д „ s d (In ti) or d (In n) . „
----- sm ?,
Рис. 15.
dr dN
dr
где а — так называемое зенитное расстояние, т. е. переменный угол между вертикалью места MZ и касательной к лучу, a s —длина луча, отсчитываемая от глаза наблюдателя М, Как видно из рис. 15, ,
da ds
da dr da „
= ~Г~ T~ — T~ cos ?> dr ds dr
а потому
Далее, r dy :
1 da
ЦР dr ds sin ?, откуда
1 dy
—(Inn).
ds ~dr
O 1
COS ? =—. r
tg? dr
Вычитая это равенство из (4.2) и принимая во внимание, что а — у
(4.2)
?, получим
d?
• d In п —
dr
— d In (nr).
tg ? ------- г
Интегрирование этого уравнения дает
nr sin ? = n0r0 sin a0, . (4.3)
где нуликом обозначены величины п, г, <х в точке M (в которой ос ~ ?). Вычислив отсюда tg ? и подставив его значение в (4.2), найдем
со
aOO-K0 = -VOsinaO J
dr
d In п
dr УпЧ*-п Иі
(4.4) 34
введений
(гл. i
Здесь а0 — видимое зенитное расстояние светила в точке M1 а Oco — угол между асимптотой луча и вертикалью В той же точке. Разность аи — Ct0 называется рефракцией. Для ее вычисления и служит формула (4.4). Зная зависимость плотности воздуха р от высоты над земной поверхностью, находят п по формуле (п — I)/р = const, после чего производят численное интегрирование в фор» муле (4.4).
Если светило находится не слишком близко от горизонта, то кривизной земной поверхности можно пренебречь. Тогда рефракция не зависит от характера изменения показателя преломления с высотой и может быть вычислена по формула
Sinaco = Zl0Sina0 (4.5)
(см. задачу 3 к § 2). Ошибка, даваемая этой формулой, быстро убывает с уменьшением а. Уже при а0 == 80° она не превосходит 3%, При а0 < 75° формула (4.5) дает достаточную точность.
