Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
§ 67. Прохождение света через плоскопараллельную пластинку. Просветление оптики
1. Допустим, что на поверхность отражающего тела нанесена пленка толщины / с показателем преломления п (рис. 246). Показатель преломления первой среды обозначим через H1, а второй —
через «2. Пусть все показатели преломления nlt п2 и п постоянны (т. е. среды однородны), а падающая волна поляризована либо в плоскости падения, либо перпендикулярно к ней. Падающая волна
?(«) = g е1 <«*-*• г> (67.1)
(начало координат в О) претерпевает многократные отражения на границах пленки. В результате интерференции в первой среде возникает отраженная вофна " V
Ei" = Re !(SX-^)i (67.2)
Поле внутри пленки будет состоять из двух плоских волн:
E = Аёш-"г\ ?' = Л,е<<и<-*'г>. (67.3)
Наконец, во второй среде возникнет преломленная волна
?(<*> = Dei^-**<¦). (67.4)
Ввиду граничных условий, тангенциальные компоненты всех волновых векторов должны быть одинаковы. Этим однозначно определяются направления всех волн (см. § 64). Для определения неизвестных амплитуд R, A, A', D электромагнитная теория дает четыре независимых граничных условия (два на верхней поверхности пленки и два на нижней), из которых эти неизвестные могут быть найдены.
Однако мы предпочитаем решить задачу более коротким способом. На верхней границе сходятся четыре волны, (рис. 247), из которых две приходящие, а две другие — уходящие. При написа- ^ 67J ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ
419
нии соотношений между их комплексными амплитудами можно отвлечься от наличия нижней границы. Тогда формально можно рассуждать так, как если бы многократных отражений не было. Все приходящие волны можно рассматривать как падающие, в результате (однократных) отражений и преломлений которых возникают уходящие волны. Падающая волна с амплитудой отражаясь от верхней границы, дает волну, идущую в направлении вектора k'i. Волна с амплитудой А', преломляясь на той же границе, дает волну, идущую в том же направлении. Результатом интерференции этих волн и является отраженная волна с амплитудой R. Это дает
R = r& + d[A'. (67.5)
Аналогично,
A = d$ + r[A'. (67.6)
Здесь Tx и dx означают коэффициенты Рис. 247.
Френеля на верхней границе пленки,
г2 и d2 — такие же коэффициенты на ее нижней границе (предполагается, что свет пересекает эти границы сверху вниз). Коэффициенты Френеля при обратном ходе лучей обозначаются теми же буквами, но штрихованными. С помощью формул Френеля нетрудно проверить, что эти величины удовлетворяют соотношениям
Г' = —г, r* + dd' = 1. (67.7)
Такое же рассуждение можно провести и для нижней границы пленки. Надо только перенести начало координат в точку О', находящуюся на нижней поверхности пленки (рис. 246). Тогда волна (67.1) запишется в виде
E^ = Se-ikUl e1^*-*^,
откуда видно, что роль комплексной амплитуды будет играть величина Ш' = Шеtklzl. Аналогично преобразуются комплексные амплитуды и остальных волн. В результате получим
А'еік^ = гЛе~
De
¦-d,Ae
Из полученных уравнений найдем
i? _ тх -)- г2 ехр (— 2ikatil cos ф) Щ ~ I +T1T2 ехр (— 2ikgnl cos ср')'
_D _ IilCi2 ехр [ik0t (п2 COS Ф — tl COS ф)]
g ~~' 1 "17 T1T2 ехр (— 2ikunl COS ф') 1
(67.8)
(67.9) 420
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
[Г Л'. V'
где k0 — волновое число в вакууме, а ф' и t|> — углы преломления на первой и второй границах. Для наглядности при выводе мы ссылались на чертеж, относящийся к однородным волнам. Но, очевидно, результаты (67.9) справедливы и в том случае, когда волны в пленке или во второй среде неоднородны.
2. При нормальном падении первая формула (67.9) переходит в
S- ^7-10'
Это выражение обращается в нуль, если выполняются два условия:
ri + г гcos (2nk0l) = 0, sin (2 nk0l) = 0. Из второго условия получаем: 2nk0l = Nn, или
' l = = (67.11)
где N — целое число, а X — длина волны в пленке. Теперь первое условие можно записать в виде: г1 + (—IJaV2 = 0. Если N нечетное, то T1 = /у, едли же N четное, то rx = —г2. Однако последнее равенство не может быть выполнено. Действительно,
_ tl — tlx _ п2 — п
** f 9 - '
1 п + Ill ' г ГЦ, + п '
Если бы T1 = —г2, то мы получили бы п (п2 — h1) = 0, откуда либо п = 0, что невозможно, либо Я2 = Il1, что не представляет интереса. Это показывает, что число N должно быть нечетным, а следовательно, T1 = ла. Отсюда
п = У Ii1Ii2. (67/Г2)
Таким образом, если п = Vri1H2, а толщина пленки равна NXI4, где N — нечетное число, то отражательная способность обращается в нуль.
На этом результате основан один из методов увеличения поверхностной прозрачности стекол, применяемый в оптической промышленности (так называемое просветление оптики). Для стекла (п = = 1,5) отражательная способность равна R = (п — 1 )2/(я + I)2 = = 0,04 = 4%, т. е. совсем невелика. Однако оптические приборы состоят из многих деталей, изготовленных из стекла. Отражение на границах их соприкосновения является главной причиной ослабления света при его прохождении через оптический прибор. Так, например, потери света в призменном бинокле составляют •свыше 50%, причем они почти целиком происходят за счет отражения света. Значительная доля отраженного света, благодаря последующим отражениям, доходит до глаза наблюдателя и, будучи в лучшем случае равномерно рассеянной, дает освещенный фон, ослабляющий контраст света и тени в изображении. Особенно ^ 67J ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ
