Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
h= . 1 - К (64.13)
Vk\x — kl 4 л Ksin2 Ф — rfi
где X1 — длина волны в первой среде.
Из (64.12) видно, что на больших (по сравнению с глубиной проникновения) расстояниях от границы раздела волна во второй среде практически полностью затухает. А так как поглощения света нет, то энергия падающей волны, проникшая во вторую среду, должна снова целиком возвратиться в первую среду. Иными словами, при sin ф > п отражение света должно быть полным. Угол ф0, определяемый соотношением sin ф0 = п, называется предельным углом-полного отражения.
3. В случае обыкновенного отражения
sin ф = k\x!ki, совф = ku/ku
(64 14)
sin 1|) = kix/k2> costy = k2Z/k2. 406
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
[Г Л'. V'
В случае полного отражения не существует вещественного угла ip, удовлетворяющего соотношениям (64.14), так как они дают для sin ip значения, превосходящие единицу, а для cos ip — мнимые значения. Однако в целях сохранения единой формы записи при обыкновенном и полном отражениях целесообразно сохранить формулы (64.14) как простые определения sinip и cosip. Поскольку эти величины удовлетворяют соотношению sin2tj3 -f- COS2I]) = 1, они могут рассматриваться как синус и косинус комплексного аргумента гр в смысле теории функций комплексного переменного:
sm ip = —27-• cos\|> = —f-.
Если sin гр и cos ip известны, то этими формулами аргумент ip определяется с точностью до целого кратного от 2л. Это не может сказаться на однозначности физических выводов, так как во все формулы будет входить не сам комплексный угол ip, а его синус и косинус. К так определенным функциям sin Ip и cos ty применимы все формальные соотношения обычной тригонометрии. Поэтому над комплексными sin яр и cos ip можно выполнять все преобразования, как если бы они были обыкновенными синусом и косинусом.
Заметим, наконец, что вместо (64.14) можно написать
sinip= sin ф/п, COSip = — — У Smi^-п2. (64.15)
§ 65. Формулы Френеля
1. При выводе геометрических законов отражения и преломления волн явный вид граничных условий не использовался. Для ¦определения амплитуд отраженной и проходящей волн необходимо использовать граничные условия в явном виде.
Разложим электрическое поле каждой волны на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости падения, другая перпендикулярна к этой плоскости. Часто эти составляющие называют главными составляющими соответствующих волн. Они обозначаются значками || и J_ соответственно. Пусть ех, еу, ег — единичные векторы вдоль координатных осей, a elt е[, еъ — единичные векторы, лежащие в плоскости падения и перпендикулярные соответственно к падающему, отраженному и преломленному лучам (рис. 238). Тогда
[ЄуЬі\ , [eyk',] [eyk2]
e^=-IT' ' <65Д>
В случае полного отражения вектор е2 комплексный, его геометрическая интерпретация как единичного вектора, перпендикулярного к преломленному лучу, теряет смысл. Поэтому, чтобы охватить не только обыкновенное, но и полное отражение, дальней- $ 65j формулы френеля 40?
шие вычисления проводятся чисто аналитически, не прибегая к чертежу. Введем разложения
Ш = Ш х.Єу-)гШ\\Єх,
R = R1Cy+ R{le[, (65.2)
D = DLey + Due2
и определим амплитуды R±, Ru, D±, Du. Умножая скалярно первое из уравнений (65.2) на ех, находим
Sx=»і і (^х)=4r(e* =ki)==S:cos(p-
Аналогично, Sy = S±, Sz — —Su sin ф. Таким образом, х-, у-, z-составляющие электрического поля на границе раздела сред (т. е. при Z = 0) будут
Ef = cos Ф. Slh Ef = E1, Ef = - sin ф - «и- (65.3)
При этом мы всюду опустили фазовые множители, так как в любой точке границы раздела они одинаковы для всех трех волн: падающей, отраженной и прошедшей. Магнитные свойства сред учитывать не будем, считая, что H г= В. Магнитное поле вычисляем по формуле (5.6) и находим
Hf = -H1COs(P-S1, Hf = H1Su, H^ = H1Sіпф-gj.. (65.3а>
Для отраженной волны:
Ef = — cos ф ¦ Ru, Ef=R1, Ef = -Sinfp-Ru,
Hf = H1COStp R1, Hf = H1Ru, Hf = H1Sinfp-R1.
Для прошедшей волны:
Mfl = COS^-D,!, Ef) =D1, E{zd) = — Sinty-Dn,
H(xd) = — n2 COSty-D1, H{yd) = H2Du, H^ = D11H2 sinty.
(65.4)
(65.5)
Для определения четырех неизвестных Rjl, Rn, DD|| электродинамика дает четыре независимых граничных условия:
E-X TCj — Cx , Cy С.у — Cy ,
Hf+Hf=Hf, Hf+Hf = HfK ( )
Подставляя в них найденные выше значения, получим
cos ф (S11 - R ц) = cos ty • Dlh S1+R1=D1,
Zi1 cos ф (ШX - R1) = щ cos ty • D1, H1 (Sц +Rll) = n?u. 408
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
[Г Л'. V'
Отсюда
R1 пх cos ф — п2 cos i|) D1 2пг cos ф
1 SS1 H1 cos ф + п_2 cos ф' 1 H1 cos ф + п^ cos ф '
/?И «g cos ф — It1 cos i|) D|l 2л1соэф (65.7)
r<1 Щ я2 cos ф + яхcosг()' Iі п2 cos ф + H1 cos ф
Отношения R1 /g_L, Dj_r?j_, ... называются коэффициентами Френеля. С помощью соотношений (64.10) формулы (65.7) легко привести к виду
R1 sin (ф — > D1 2 cos ф sin ф
Sin (ф + ^)' ~ Sin (ф + ф) '
R^ tg Сф — 1I5) D^ 2 cos ф sin ф (65.8)
= tg(<P + 4') ' = sin (ф + ф) cos (ф — г[>) •
Эти формулы и решают поставленную задачу. Они были впервые получены в 1821 г. Френелем из механической теории упругого эфира с помощью весьма простых, но нестрогих и противоречивых рассуждений. Последующие попытки строгого решения задачи с помощью уравнений упругости ухудшили дело: в случае волн, поляризованных в плоскости падения, они приводили к формулам, не согласующимся с опытом. Только электромагнитная теория света впервые дала строгое и удовлетворительное решение задачи.
