Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
E^ = Deilatt-*'" (64 3)
будут также плоскими и притом той же частоты со. Равенство частот следует из линейности и однородности граничных условий. Если среды неподвижны, то коэффициенты при напряженностях полей в граничных условиях могут зависеть от координат, но не от времени. Пусть со, и (Od — частоты отраженной и прошедшей волн. Тогда любое из граничных условий (63.1) принимает вид
А (г) еш + В (г) ешг' + С (г) еішч' = 0.
Коэффициенты А (г), В (г), С (г) отличны от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Следовательно, функции еш1, e'V, e"V линейно зависимы, а это возможно лишь при со = сог = corf. Если граница движется, то А, В и С зависят не только от г, но и от времени. Тогда имеет место изменение частоты (эффект Допплера). В этой главе всюду предполагается, что среды неподвижны.
2. Найдем теперь волновые векторы отраженной и прошедшей волн. Формулы, определяющие эти векторы, называются геометрическими законами отражения и преломления волн. Они определяют направления распространения отраженной и прошедшей волн, а в случае их неоднородности также и затухание в пространстве.
Примем границу раздела сред за координатную плоскость XY. За ось X возьмем линию пересечения плоскости раздела сред с плоскостью падения. Ось Z направим вниз, т. е. в сторону второй среды. Тогда ось Y окажется перпендикулярной к плоскости падения и будет лежать в плоскости раздела сред. Так как по доказанному частоты падающей, отраженной и прошедшей волн одинаковы, то любое из граничных условий (63.1) примет вид
- Ae-4kixx+fciyV) + Ве^'^'1**+*'1^ + Ce''^***+ ^ ^o,
где А, В, С — постоянные и притом отличные от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Полагая у = 0, получаем линейную зависимость между функциями е lkIxx, е~'ких, е~'к*хХ и поэтому заключаем, что
klx = k'lx = k2x. (64.4)
Аналогично,
kly = k[y = k2y. (64.5)
Таким образом, тангенциальные составляющие волновых векторов отраженной и прошедшей волн равны тангенциальной составляю- 404
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
[Г Л'. V'
щей волнового вектора падающей волны. Остается найти нормальные составляющие этих векторов. Согласно соотношению (5Л4),
(64.6).
(64.7),
где E1Be, — диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Далее
(64.8)«
(64.9)
k'u = -Yk\-k\ Kz = Vkl - k\x.
Знак минус перед корнем в формуле (64.8) взят потому, что плюс-соответствует падающей волне. Что касается знака перед корнем-в (64.9), то он будет определен в дальнейшем из физических соображений.
Если падающая волна однородна, то из (64.4), (64.5) и (64.8)) следует, что отраженная волна также однородна. Ее волновая нормаль лежит в плоскости падения, а угол отражения равен углу-падения. Для проходящей волны надо различать два случая.
Первый случай. k\ > k\x, т. е. преломленная волна однородна. Определим, какой знак следует выбрать в этом случае перед.
квадратным корнем в (64.9). Знаку плюс соответствует волна, распространяющаяся от границы р^з^ дела, — направление ее распространения обозначено на рис. 238' сплошной стрелкой. Знаку минус соответствует волна, идущая к границе раздела, — ее направление-обозначено пунктирной стрелкой. Эти стрелки указывают направления распространения волновых, фронтов, т. е. плоскостей равных фаз. Ясно, что отраженная и преломленная волны должны быть. уходящими от границы раздела. Этим требованием обеспечивается однозначность решения задачи. Однако требование ухода относится не к фазе, а к энергии волны. Можно показать, что в случае электромагнитных волн в изотропных средах направления распространения фазы и энергии волны совпадают. Поэтому знак минус перед корнем в (64.9) следует отбросить; условиям задачи удовлетворяет только' знак плюс.
Как видно из (64.4), нормали к падающей и преломленной волнам лежат в плоскости падения. Если <р — угол падения, а ф — угод
\ е'
А
/t T-/2
/
' Z
Рис. 238. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ
405
преломления, то
klx = &J sin ф = sin ф, k2x = k2 sin ф = sin lf>,
l'l
откуда на основании (64.4)
JiEJL = -^L = = ~\f . (64. IOV
sin \|) V2 U1 У E1
Второй случай. k\<. k\x, или u?lv\< ша sin 2ф /і>ї, откуда sin ф ~> V1IV2 = п. Здесь п — относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Так как sin ф< U то рассматриваемый случай возможен только при п< 1. Составляющая k2z чисто мнимая, а.волна во второй среде, если она существует, неоднородная. Знак корня в (64.9) определится из требования,, чтобы при удалении от границы раздела амплитуда волны затухала.. Этому требованию удовлетворяет только выражение
Кг = - іУЩ^Щ, = (64.1 1).
В самом деле, тогда (64.3) принимает вид
EM = De-" MeHva-kI**), (64.12)
т. е. волна во второй среде будет затухать в направлении оси Z, чего не получилось бы, если бы в (64.11) вместо минуса взять плюс.
Плоскости равных фаз волны (64.12) перпендикулярны к оси X и распространяются вдоль нее с фазовой скоростью vx = <alkix. Плоскости равных амплитуд параллельны границе раздела. При смещении вглубь среды на h интенсивность волны (пропорциональная квадрату амплитуды) убывает в е раз. Величина h называется глубиной проникновения волны во вторую среду. Она равна
