Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
гмакс
J K(p)e-"Pdp, (39.3)
где прежняя функция К (а) теперь рассматривается как функ- § 39] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА - ФРЕНЕЛЯ. ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ
ция р. Верхний предел интеграла равен /-макс = г + 2г„. Однако, имея в виду дальнейшие применения, мы не будем его конкретизировать. Точное вычисление интеграла (39.3), конечно, невозможно без знания вида функции К(р). Однако Френель, используя малость длины световой волны, дал метод приближенного вычисления подобных интегралов при весьма общих предположениях относительно функции (р). Опишем из точки P как из центра концентрические сферы с радиусами г, г + + Я/2, г + 2 (Я/2), г + 3 (Я/2), ... (рис. 152). Они разобьют волновой фронт F на кольцевые области, получившие название зон Френеля. Ввиду малости длины волны, аргумент р, а с ним и функция /^(р) в пределах одной зоны могут считаться постоянными. В этом приближении интеграл (39.3) по її-й зоне будет равен
г+пк/ 2
Kn J ff-«Pdp = (-l)n + 1
г+(п—1)1/2
Сде через Kn обозначено среднее значение функции К (р) для п-й зоны. Если N — общее число зон, посылающих вторичные волны в точку наблюдения, то поле E представится знакопеременной суммой
? = ^ + ^ + ^3+...+^. (39.4)
Общий член ее имеет вид
?„ = (-1)"+' (39.5)
То обстоятельство, что знаки рядом стоящих слагаемых в сумме (39.4) противоположны, означает, что колебания, вносимые соседними зонами Френеля, противоположны по фазе. Этого и следовало ожидать, так как из самого построения зон Френеля видно, что одно из этих двух колебаний запаздывает относительно другого на полволны. По предположению Френеля абсолютные значения множителей Kn, а с ними и членов суммы (39.4) медленно убывают с возрастанием номера п. Уберем в сумме (39.4) слагаемое E1 и добавим слагаемое EN+1. Ввиду медленности убывания членов суммы (39.4), интуитивно можно ожидать, что от этого абсолютное значение суммы (39.4) почти не изменится, а ее знак заменится на противоположный. Приняв это, наряду с (39.4) можно также написать:
E--Ei-Eз— ... -En-E 278
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
Тогда 2E = E1 — EN+1. Но в том же приближении En — —En-i, и следовательно,
?=1(^ + ^). (39.6)
Таким образом, волновое возмущение, создаваемое N первыми зонами Френеля, равно полусумме возмущений, вносимых крайними зонами.
Возьмем теперь все зоны на сферическом волновом фронте F (рис. 151). Введем предположение (обосновываемое при строгой формулировке принципа Гюйгенса, данной Кирхгофом), что при а = л, т. е. в точке D волнового фронта, функция К (et) обращается в нуль. Тогда En = O1 и из формулы (39.6) получаем
т. е. при свободном распространении волны волновое возмущение от всего волнового фронта составляет половину возмущения, даваемого одной только первой зоной Френеля. Дело происходит так, как если бы из всего волнового фронта действующей осталась только часть первой зоны Френеля *).
5. Формула (39.7) интересна также в том отношении, что она позволяет точно определить множитель Ki- Действительно, при свободном распространении сферической волны (39.2) напряженность поля заранее известна в любой точке пространства. В частности, в точке наблюдения
? —_!_ei [<a<-ft(r„ + r)]
Го +г
Сравнивая это выражение с (39.7), находим
Ш = ?^¦ (39"8)
Таким образом, множитель Ki, а также все остальные множители Ku Ks, ... — чисто мнимые. Значит, вторичные волны Гюйгенса опережают по фазе колебания поля в точках волнового фронта на я/2. Если бы такого опережения не было, то вторичные волны из центра первой френелевой зоны приходили бы ц точку наблюдения с фазой at — k (r0 + г), а от ее краев — с меньшей фазой соt —
х) В полученном результате авторы многих книг видят доказательство прямолинейного распространения света, утверждая, что свет распространяется как Сы в узком прямолинейном канале, поперечное сечение которого порядка размеров первой френелевой зоны. Однако не надо забывать, что этот вывод относится к свободному распространению волны, когда проблема прямолинейного распространения света вообще не возникает. Она возникает лишь при наличии препятствий на пути распространения света. Это есть проблема теней, являющаяся частным случаем проблемы дифракции света. $ 39] принцип гюйгёПса - Френеля, зоны френеля 267
— k (г0 + г) — я. Фаза результирующего колебания, возбуждаемого всей первой зоной, была бы равна полусумме этих значений, т. е. оказалась бы меньше правильного значения на я/2.
6. Результаты (39.6) и (39.7) имеют основное значение в метода зон Френеля. Для лучшего уяснения интерпретируем их на векторной диаграмме (см. т. III, § 126). Разобьем каждую зону Френеля на т кольцевых подзон (на рис. 153, а построение выполнено для m = 6). Колебания, возбуждаемые в точке наблюдения такими подзонами, на векторной диаграмме изобразятся векторами /I0Zi1,
Рис. 153,
A1Ai, A2A3 и т. д., образующими ломаную линию. Колебание, возбуждаемое несколькими соседними подзонами, представится геометрической суммой таких векторов. Например, вектор A0Ae представляет «действие» первой френелевой зоны, вектор A0A12 — совместное действие двух первых френелевых зон, и т. п. Если число подзон N устремить к бесконечности, то в пределе ломаная перейдет в непрерывную спираль, вьющуюся вокруг фокуса F (рис. 153, б). На этой спирали действие первой френелевой зоны представляется вектором A0Ae, а всего волнового фронта — вектором A0F, который почти точно вдвое короче предыдущего. Действие центральной ¦половины первой зоны представляется наклонным вектором A0A31 и т. п.
