Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. В § 3 мы указывали, что принцип Гюйгенса в том виде, в каком он был сформулирован самим Гюйгенсом, есть не более чем геометрический рецепт для построения волновых фронтов. Во всех применениях вторичные волны Гюйгенса выступают не как реальные волны, а как вспомогательные сферы, используемые для такого построения. Эти сферы, построенные из точек волнового фронта как из центров, проявляют свое действие только на огибающей, которая и дает новое положение волнового фронта. При этом оставалось необъясненным, почему при распространении волны не возникает обратная волна.
Искусственную гипотезу об огибающей вторичных волн Френель заменил физически ясным положением, согласно которому вторичные волны при наложении интерферируют друг с другом. Свет должен наблюдаться во всех местах пространства, где при интерференции вторичные волны усиливаются; в тех же местах, где они взаимно гасят друг друга, должна наблюдаться темнота. Тем самым выясняется и физический смысл огибающей. К огибаю-ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА - ФРЕНЕЛЯ. ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ
203
щей все вторичные волны приходят в одинаковых фазах, и их интерференция приводит к большой интенсивности света. Становится ясным, по крайней мере качественно, и отсутствие обратной волны. Вторичные волны, идущие от волнового фронта вперед, вступают в свободное от возмущений пространство. Они интерферируют только друг с другом. Напротив, вторичные волны, идущие назад, вступают в пространство, где уже есть волновое возмущение — прямая волна. При интерференции вторичные волны гасят прямую волну, так что после прохождения волны пространство за ней оказывается невозмущенным.
Френель дал следующую формулировку принципа Гюйгенса, несколько обобщенную Рэлеем (1842—1919). Окружим все источники света S1, S2, S3, ... произвольной замкнутой поверхностью F (рис. 150). Каждую точку такой поверхности можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях. Эти волны когерентны, поскольку все они возбуждаются одними и теми же первичными источниками. Световое поле, возникающее в результате их интерференции, в пространстве вне поверхности F совпадает в Рис. 150. полем реальных источников света.
Таким образом, действительные источники света можно как бы заменить окружающей их светящейся поверхностью F с непрерывно распределенными по ней когерентными вторичными источниками. Отличие этой поверхности от реальной поверхности излучающего тела состоит в том, что она абсолютно прозрачна для всякого излучения. В такой формулировке принцип Гюйгенса — Френеля выражает весьма общее положение. Он означает, что волна, отделившаяся от своих источников, в дальнейшем ведет автономное существованйе, совершенно не зависящее от наличия источников.
3. При математической формулировке принципа Гюйгенса — Френеля будем предполагать, что источники света — монохроматические с одной и той же частотой ю. По предположению Френеля каждый элемент площади dF поверхности F (рис. 150) испускает вторичную сферическую волну, а волновое поле в точке наблюдения P представляется суперпозицией таких волн в виде интеграла
?=^ (39.1)
по всей (замкнутой) поверхности F. Френель предположил, что амплитуда вторичной волны пропорциональна амплитуде первичной волны, приходящей к элементу dF, а также площади самого264
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
элемента dF. Кроме того, она убывает с возрастанием угла между нормалью к поверхности F и направлением излучения вторичной волны. Конкретного выражения для амплитуды вторичной волны Френель не дал. Это было сделано только в 1883 г. Кирхгофом (1824—1887) при строгой формулировке принципа Гюйгенса — Френеля (см. § 43). Несмотря на это, Френелю удалось получить правильные,решения многих дифракционных задач, пользуясь простыми интуитивными соображениями и нестрогими методами расчета. Эти простые и наглядные методы, приводящие быстро к цели, до сих пор используются при элементарном изложении теории дифракции. Они взяты за основу и в настоящей книге. Мы изменим
только те (не влияющие на окончательный результат) предположения Френеля, которые оказались неверными.
4. Рассмотрим сначала свободное распространение сферической волны
Ей = — ё№-кг о) (39.2) 'о
рис, в однородной среде (рис. 151). Пе-
ред этим выражением можно было бы поставить какую-то постоянную амплитуду A0. Мы не делаем этого, выбирая единицы измерения так, чтобы было A0 = 1. В качестве вспомогательной поверхности F в формуле (39.1) выберем сферический волновой фронт радиуса г0. Согласно гипотезе Френеля, а = К (а) ё~ikroIr0, где функция К. (а), помимо длины волны, зависит только от угла между нормалью к волновому фронту и направлением излучения вторичной волны Гюйгенса. Полное поле в точке наблюдения P представится интегралом
E= [ K^LeIW-Ur0-Up)dp J 'оР
Если за элемент площади dF принять площадь кольца, вырезаемого из волнового фронта двумя бесконечно близкими концентрическими сферами с центрами в точке наблюдения Р, то dF = = 2лло sin Ф d$. Примем за переменную интегрирования расстояние р. Дифференцируя соотношение P2 = Го + (г0 + г)2 — — 2r0 (r0 + г) cos iO при постоянных T0 и г, находим sin # dh, а затем и элемент площади dF. В результате получим