Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ql Q-2 г, Т2 /QT Q4
—тг~' (d7-6)
Слева стоит коэффициент полезного действия тепловой машины, обозначавшийся ранее буквой т]. В результате мы доказали следующую (вторую) теорему, принадлежащую Карно. Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить коэффициент полезного действия идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника.
Эта теорема позволяет, таким образом, оценить верхний предел к. п. д. тепловой машины. Возьмем, например, паровую машину. Пусть максимальная температура пара в котле 1Л = 150 °С, температура холодильника t2 = 20 СС. В абсолютной шкале соответствующие температуры будут 7\ = 423 К, Т2 — 293 К. К. п. д. такой машины не может превосходить
П-Ъ _ 130 _30%-
7\ 423
В действительности к. п. д. паровых машин значительно меньше.
Вторая теорема Карно ясно показывает, что энергия должна характеризоваться не только количественно, но и качественно. Под качеством энергии мы понимаем ее способность превращаться в другие виды энергии при заданных внешних условиях. Конечно, если на способы превращения не накладывать никаких ограничений, то внутренняя (тепловая) энергия может быть целиком затрачена на производство работы. В этом смысле теплота и работа эквивалентны между собой. Однако, если на внешние условия, в которых находится тело, наложить определенные ограничения, то полное превращение тепла в работу может стать невозможным. Например, невозможно полностью превратить тепло в работу при помощи периодически действующей тепловой машины. Для этого надо было бы располагать холодильником, температура которого равна абсолютному нулю. Поскольку такого холодильника нет, периодически действующая машина может превратить в работу только часть тепловой (внутренней) энергии тела. Чем выше температура тела, тем выше качество
118
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. III
запасенной в нем тепловой энергии. Всякий естественно идущий необратимый процесс приводит к обесценению энергии в указанном выше смысле. Обратный процесс, в котором качество энергии повышается, возможен только при наличии другого процесса, в котором энергия обесценивается. Этот другой процесс Клаузиус назвал компенсирующим процессом или, короче, компенсацией. Например, можно отнять тепло от холодильника и передать его нагревателю. Но для этого необходим компенсирующий процесс, скажем, производство работы.
ЗАДАЧИ
1. Какую максимальную работу можно получить из системы двух тел, нагретых до разных абсолютных температур TUl и Т20 (Т10 > Т2(|), если эти тела используются в качестве нагревателя и холодильника в тепловой машине? Теплоемкости тел С] и С2 считать не зависящими от температуры. Найти окончательную температуру Т, которую будут иметь тела, когда установится тепловое равновесие между ними.
Решение. Максимальная работа получится тогда, когда тепловая машина работает последовательно повторяющимися бесконечно малыми циклами Карно. Пусть в результате одного из таких циклов первое тело отдало теплоту 6Q1 = —CjdTi, а второе = —C2d7'2 (7\ и Т2 означают переменные температуры тел). Произведенная работа равна М = 6Qx +6Q2, причем
^ + ^=0. (37.4)
і 1 У 2
ИЛИ
с^+с,^=о.
Интегрируя это соотношение с учетом начальных условий, получим
7f>7f2 = r^T^f. (37.5)
Окончательная температура Т найдется из условия 7\ = Т2 = Т. Оно дает
Tc, + c2==Tc,T?*. (37.6)
Максимальная работа, которую может совершить система, т т
А = ^ 6Л = — Сх f dT—C2 \dT=(СуТх + С21\) - (С\ + С2) Т. (37.7)
т, ft
Она равна убыли внутренней энергии системы.
2. Рассмотреть предельный случай предыдущей задачи, когда теплоемкость холодильника С2 бесконечно велика. (Нагретое тело, погруженное в бесконечную среду, температура которой Т20 поддерживается постоянной.)
Решение. Температура Т находится из (37.6) предельным переходом С2 —оо, который дает Т= Т21). Этот результат непосредственно очевиден. Предельный переход в окончательном выражении (37.7) выполнить затруднительно, так как оио приводит к неопределенности вида со — со. Удобнее выполнить предельный переход в выражении для элементарной работы ЬА = + 6Q2.
НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА В ОБЩЕМ ВИДЕ
119
Выразив 6Q2 через 8Qx по формуле (37.4) и учтя, что Т» — Т20 = const, получим
Т dT
ЬЛ=Щх—^Щх = -СхйТх+СхТп
(37.8)
А = СХІТХо — Т2о— Т%о 1п -
Т.
20
Работа Л меньше убыли внутренней энергии нагретого тела Сх (Т,п — Т^). Часть внутренней энергии тело передает окружающей среде в виде тепла (ср. § 48).
§ 38. Неравенство Клаузиуса в общем виде
1. Обобщим теперь неравенство (37.2) на случаи произвольного числа тепловых резервуаров Rlt R„, ..., R„. Резервуары должны быть достаточно велики (в пределе бесконечно велики), чтобы в ходе теплообмена их температуры Тъ Т.,, ..., Тп оставались практически постоянными. Пусть какая-либо термодинамическая система (назовем ее по-прежнему системой I) совершила произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый, в ходе которого она заимствовала от тепловых резервуаров теплоты Qlf Q2, Qn и за их счет произвела эквивалентную работу Qx +
