Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 37. Неравенство Клаузиуса (для частного случая)
1. Из рассуждений, приведенных в § 30 для доказательства теоремы Карно, можно извлечь другое интересное следствие. Рассмотрим произвольную термодинамическую систему (назовем ее
НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА
115
системой I), которая может обмениваться теплом с двумя тепловыми резервуарами и /?2. Температуры этих резервуаров обозначим через 7\ и То, соответственно. Теперь мы не будем различать, какой резервуар является нагревателем, а какой — холодильником. Количество тепла, отданное тепловым резервуаром (т. е. полученное системой I), условимся считать положительным. В противоположном случае тепло считается отрицательным. Благодаря этому окончательные результаты формулируются симметрично относительно обоих резервуаров.
Пусть система I совершила произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый, в котором она получила тепло от резервуара и тепло Q2 от резервуара R2. Так как система вернулась в исходное состояние, то полное тепло Q, + Q2, полученное ею, будет равно работе, которую она произвела. Возьмем теперь обратимую машину Карно и заставим ее работать между теми же тепловыми резервуарами Rx и R„. Для того чтобы наличие машины Карно никак не отразилось на количествах тепла Q1 и Q2, полученных системой от тепловых резервуаров во время кругового процесса, можно присоединить машину Карно уже после того, как круговой процесс в системе I закончился. Если с этого момента теплоизолировать систему I, то тепловые резервуары Rx и R2 начнут обмениваться теплом только с машиной Карно. Наличие последней никак не скажется на ходе интересующего нас кругового процесса в системе I, поскольку этот процесс является событием прошлым по отношению к моменту присоединения машины Карно. Пусть сама машина Карно совершила круговой процесс, в ходе которого она заимствовала тепло от резервуара и тепло Qj — от резервуара R2. Для дальнейшего существенно, что машина Карно обратима. Ее можно заставить работать и как двигатель, и как холодильник. Кроме того, изотерма 12 (см. рис. 25) в цикле Карно может быть взята сколь угодно короткой. Следовательно, и работа, совершаемая машиной Карно в одном цикле, может быть как угодно малой. Можно получить и сколь угодно большую работу, заставив машину Карно совершить много одинаковых или различных циклов. Таким образом, машина Карно позволяет получать как положительную, так и отрицательную работу любой наперед заданной величины. Это обстоятельство делает возможным по произволу распорядиться одной из величин QJ или Qi. Всегда можно достигнуть, чтобы одна из этих величин приняла произвольное значение, как положительное, так и отрицательное.
На основании теоремы Карно и определения абсолютной температуры можно написать
# + -? = 0. (37.1)
1 1 ' 2
Объединим машину Карно и систему I в одну сложную систему.
116
Второе начало термодинамики
?гл. III
Круговые процессы, последовательно совершенные системой I и машиной Карно, очевидно, также можно объединить в один общий круговой процесс. В этом процессе сложная система
Дальнейшие рассуждения зависят от того, какой постулат второго начала термодинамики положить в их основу. Если воспользоваться постулатом Томсона — Планка, то надо рассуждать следующим образом. Подберем тепло Q[ так, чтобы Q[ = — Qi-Тогда ввиду соотношения (37.1)
В результате кругового процесса состояние резервуара не изменится. Тепловой резервуар /?2 отдаст тепло
За счет этого тепла будет произведена эквивалентная работа А = Q2 + Q^. Если бы эта работа была положительна, то получился бы процесс Томсона — Планка, что невозможно. Поэтому должно быть А 0. Так как абсолютная температура Т,г существенно положительна, то это приводит к неравенству
Это неравенство является частным случаем более общего неравенства Клаузиуса, которое мы рассмотрим в следующем параграфе.
2. Соотношение (37.2) можно, конечно, получить и из постулата Клаузиуса. Для этого выберем величину Q; так, чтобы А = Qj -|- QJ -|- Q2+Qi = 0 или (Qi -|- QJ) = —(Qs “1“ Qs)- Тогда единственным результатом кругового процесса будет передача тепла (Q, -|- QJ) от резервуара Rt к резервуару R2-Тепло Q\ можно найти из условия Л = 0, если воспользоваться соотношением
(37.1). Это дает
Если 7\ > То, то согласно постулату Клаузиуса должно быть Qi + Q[ ~ 0. Если же Т, <; То, то должно быть Q, + QJ ==: 0. Так как абсолютные температуры существенно положительны, то в обоих случаях мы приходим к неравенству
получила от резервуара jRi тепло Qi + Q[, получила от резервуара тепло Q2 + Q2, совершила работу Л = + +Q2 + Qa-
(37.2)
Qi+q;-i-q-2-^q;=o.
Определив отсюда QJ, находим дальше
Qi . Q2
НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА
117
3. Придадим неравенству Клаузиуса (37.2) другую форму, в которой отчетливее выявляется его связь с техническими проблемами. Вернемся к прежним обозначениям, которыми мы пользовались в 30. Пусть У', — температура нагревателя, а Т„ — холодильника. Тепло Q2, как и ранее в § 30, будем считать положительным, если холодильник его получает. При таком выборе знаков
Т
і
Отсюда легко получить
