Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 23. Скорость звука в газах
1. В механике (см. т. I, § 85) выводится следующая формула для скорости распространения звука в газах:
f23-1»
где р — плотность газа. Но давление Р зависит не только от р, а также и от температуры Т. Поэтому надо указать, в каком смысле понимается производная dP/dp. Ньютон считал, что давление связано с плотностью законом Бойля — Мариотта: Р/р — const. Это соответствует предположению, что разности температур между сгущениями и разряжениями воздуха в звуковой волне мгновенно выравниваются, так что распространение звука есть изотермический процесс. Если верно это предположение, то под dPIdp следует
( дР \
понимать частную производную ^ф-L- Тогда формула (23.1) перейдет- в формулу Ньютона
(23.2)
где р — молекулярный вес газа, а индекс N указывает, что cN — скорость звука, вычисленная по формуле Ньютона. Полагал для воздуха р = 28,8, Т = 273 К, получаем по формуле (23.2) cN = = 280 м/с, тогда как опыт дает с - -- 330 м/с.
2. Расхождение было устранено Лапласом (1749—1827). Он указал, что колебания плотности и связанные с ними колебания температуры в звуковой волне происходят настолько быстро, а теплопроводность воздуха настолько мала, что для таких процессов теплообмен не играет никакой роли. Разности температур между сгущениями и разрежениями воздуха в звуковой волне не успевают выравниваться, так что распространение звука можно считать адиабатическим процессом. В таком случае надо пользоваться не
СКОРОСТЬ ЗВУКА В ГАЗАХ
81
уравнением изотермы, а уравнением адиабаты (21.2). Если в это уравнение вместо объема V ввести плотность р ~ 1/1/, то оно перейдет в
уР dp-pdP^-O, (23.3)
откуда для адиабатического процесса
Поэтому вместо формулы Ныотона (23.2) получается формула
Лапласа
Она дает для скорости звука величину в У у раз большую, чем формула Пыотона. Измерения у для воздуха привели к результату у ---- 1,4. Поэтому согласно формуле Лапласа при Т — 273 К скорость звука в воздухе должна быть
что находится в превосходном согласии с опытом.
3. На формулах Ньютона и Лапласа основан второй удобный метод экспериментального измерения отношения теплоемкостей у, превосходящий по точности метод Клемана и Дезорма. Экспериментально измеряется скорость звука с в исследуемом газе. Величина у вычисляется по формуле
где гу — так называемая ньютонова скорость звука, т. е. величина, определяемая формулой (23.2). Величина же, определяемая формулой (23.5), называется лапласовой скоростью звука.
Показать, что соотношение (23.5) между скоростью звука, рассчитанной по формуле Лапласа (адиабатической) и Ньютона (изотермической), справедливо для любою физически однородного изотропного вещества.
Рсше н и е. Для адиабатического процесса du + Pdv = 0, где и и v — удельные значения внутренней энергии и-объема вещества. Взяв за независимые переменные Р и V, получаем
(23.4)
(23.5)
с = 280)' 1,4 = 330 м/с,
(23.6)
ЗАДАЧА
Если объем поддерживается постоянным, то остается только одна независимая переменная, от которой зависят все остальные величины. Таковой является либо
82
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. II
Р, либо Т. Рассматривая и (Р) как сложную функцию и\Т (Р)] и дифференцируя, получим
' ди \ _(ди_\ (дТ\ дР дТ )v\dP L'
или используя соотношения (8.4) и (18.3), —
\ __
[дТ\ ( dv \
Cv\ *>Jp\dPjr-
дР /
Поступая аналогично, находим
(ди\ ,D-(du\ І дт\ і d \(ди\ , D ( dv \ 1 ! дТ \ (дТ\
\dv)p \ дТ )р \ dv )р \ дТ )р( дТ )pj \ dv jp Cfl \ dv Jp'
После соответствующей подстановки получим
/дР\ ____ ср і дР\
[wL--c7VdvjT- (23-7)
Соотношения (23.4) и (23.5) являются следствиями формулы (23.7), если ввести плотность р = 1Л>.
§ 24. Замечания относительно экспериментальных методов определения Ср и Сі/ для газов
Для идеальных газов значением величины у —СР'Су однозначно определяются их теплоемкости Ср и Cv, так как в случае идеальных газов эти теплоемкости связаны дополнительным соотношением
CP-Ci=/?. (24.1)
Разрешая эти уравнения относительно Ср и Су, находим
Cv=~r. Cp = J5_. (24.2)
Детальное описание методов измерения теплоемкостей газов Ср и С у не входит в задачи нашего руководства. Поэтому ограничимся только одним замечанием. Непосредственное измерение на
опыте величины Су затруднительно, так как прн постоянном V
масса газа, а следовательно и его теплоемкость, всегда малы по сравнению с соответствующими величинами для калориметра. На опыте удобнее измерять величину Ср и адиабатическую постоянную у, а теплоемкость Су вычислять по формуле Су — -Ср.
Для измерения Ср исследуемый газ, нагретый до определенной температуры, заставляют протекать через спиральную металлическую трубку (змеевик), опущенную в воду калориметра (рис. 21). На одном конце змеевика поддерживаются постоянными давление 1\ и температура Тг газа. На выходе змеевика поддерживается давление Р.. и измеряется температура газа Г3. Она ниже Тг, так как
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
83
при прохождении через змеевик газ отдает тепло воде калориметра. Обычно при прохождении через змеевик газ успевает охладиться и принять температуру воды в калориметре.
