Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
U = CVT. (19.8)
Как показывает опыт и молекулярно-кинетическая теория, для одноатомных газов Ci/~3 кал/(К-моль), для двухатомных Cv да* да 5 кал/(К-моль), для многоатомных Су да 6 кал/(К-моль).
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что энтальпия идеального газа не зависит от давления, а является функцией только его температуры.
2. Если начальные и конечные продукты реакции являются идеальными га '.ами, то тепловой эффект реакции Wv не зависит от объемоз газов, a Wр — от их давлений до и после реакции. Обе эти величины зависят только от температур газов до и после реакции. Доказать.
3. Показать, что внутренняя энергия воздуха в помещении не зависит от температуры, если давление наружного во:духа остается постоянным. Воздух считать идеальным газом.
Указание. Представить внутреннюю энергию в виде
§ 20. Уравнение Роберта Майера
1. Применим формулу (18.5) к идеальному газу. По закону Джоуля y-^7"jr = 0, из уравнения Клапейрона следует (jfpJp = = RIP. Поэтому указанная формула дает
CP-CV = R. (20.1)
Это важное соотношение называется уравнением Роберта Майера.
Приведем еще одни вывод уравнения (20.1). Пусть один моль идеального газа находится в цилиндре с поршнем. Закрепив поршень, повысим температуру газа на dT. Так как объем газа остается постоянным, то количество тепла, необходимое для такого нагревания, равно 6VQ = C^dT. А так как при этом не производится работа, то это тепло равно приращению внутренней энергии газа:
CvdT = dU. (20.2)
Произведем теперь с тем же газом другой опыт. Пусть начальное состояние (Т, V) будет тем же самым, что и в предыдущем опыте, но поршень не закреплен, а может свободно перемещаться под постоянным внешним давлением Р. По определению теплоемкости СР
74
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
ІГЛ. II
для повышения температуры газа на dT потребуется тепло 8PQ = = CpdT. При этом газом будет совершена работа 6Л = PdV. Так как давление постоянно, то эту величину можно записать в виде 8Л = d (РУ) = d (RT) = RdT. А так как внутренняя энергия газа зависит только от температуры, то она изменится на столько же, на сколько и в предыдущем опыте. Таким образом, во втором опыте
CpdT = dU + RdT.
Подставив вместо dU выражение (20.2), мы снова придем к формуле (20.1).
Последний вывод особенно ясно показывает, что различие между СР и Cv в случае идеального газа обусловлено только работой, которую совершает газ при расширении против постоянного внешнего давления. Важно подчеркнуть, что вывод использует закон Джоуля о независимости внутренней энергии идеального газа от занимаемого им объема.
2. Измерив теплоемкости СР и Cv газа, можно вычислить механический эквивалент теплоты. Для этого можно воспользоваться уравнением Роберта Майера (20.1). Измеряя количество тепла в калориях, можно на опыте найти разность СР — С\- в тепловых единицах. С другой стороны, газовую постоянную R можно измерить в механических единицах. Если пользоваться 20-градусной калорией, то измерения дают
Ср — Cv— 1,986 кал/(К • моль),
7? = 8,314107 эрг/(К-моль).
Приравнивая эти две величины, получаем
1 кал = 4,18-107 эрг = 4,18 Дж.
Именно таким путем в 1842 г. механический эквивалент теплоты был вычислен теоретически немецким врачом Робертом Манером — одним из основоположников механической теории теплоты и первого начала термодинамики. Правда, найденное им значение механического эквивалента было заметно меньше истинного, что объясняется неточными значениями теплоемкостей воздуха СР и Cv, которыми он располагал. Впервые достаточно точное значение механического эквивалента теплоты было определено в классических опытах Джоуля, начатых в 1847 году. Эти опыты общеизвестны, и нет необходимости останавливаться на их описании. Последующие измерения уточнили значения СР и Cv для газов. Пользуясь этими значениями, было показано, что метод Р. Мейера, метод Джоуля и другие прямые методы, аналогичные методу Джоуля, приводят к одинаковым значениям механического эквивалента теплоты. Это было бы не так, если бы энергия идеального газа, помимо его тем-
§ о]] АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА 75
пературы, зависила еще от объема. Поэтому отмеченное совпадение может служить одним из экспериментальных подтверждений закона Джоуля о независимости внутренней энергии идеального газа от его объема.
§ 21. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона
1. Процесс, происходящий без подвода и отвода тепла, называется адиабатическим. Рассмотрим, как связаны между собой параметры, определяющие состояние идеального газа, когда газ совершает квазистатический адиабатический процесс. Полагая в уравнении
(15.5) 6Q = 0, dU = CvdT, получим
CvdT + PdV = 0.
Из уравнения Клапейрона
•т _ d (РV) _PdV+ V dP Р d\'-\- V dP
R R Cp-Cv ¦
Исключая dT, получим
CpP dV + CvVdP--=Q.
Введем обозначение
Cp
У-~-. (21-1)
Тогда yPdV + VdP = 0. (21.2)
Таково дифференциальное уравнение квазистатического адиабатического процесса для идеального газа. Теплоемкости СР и Сг для идеальных газов могут зависеть от температуры. Но во многих случаях они остаются практически постоянными в широких температурных интервалах. Если это так, то постоянно также и их отношение у. Тогда уравнение (21.2) легко интегрируется и дает
