Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(120.7)
(120.8)
(121.1)
§ 121] КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
481
Допустим теперь, что под действием какого-то бесконечно малого возмущения элемент жидкости переместился вверх на dz. Так как указанное перемещение происходит адиабатически, то для изменения удельного объема жидкости при таком перемещении можно написать
*'¦«-(»)<> ,п'“+(ар)г"’- (,2|'2)
Здесь dTaR и dP означают приращения температуры и давления внутри рассматриваемого элемента жидкости при адиабатическом поднятии его на высоту dz. (Значок «ад» у dP мы опустили, так как приращение давления в элементе жидкости— такое же, что и приращение давления в окружающей жидкости.) Если dz ]> 0, т. е. элемент жидкости сместился действительно вверх, и dvUR > dv, то сместившийся элемент окажется относительно более легким, чем окружающая жидкость. Он будет подниматься еще выше, и равновесие жидкости окажется неустойчивым. В противоположном случае, когда dval < dv, давление окружающей жидкости вернет элемент в исходное положение, т. е. равновесие будет устойчивым. Воспользовавшись выражениями (121.1), (121.2) и поделив неравенство на положительную величину dz, условие устойчивости равновесия можно записать в виде
діЛ fdT\ fdv\ dT
dT Jp \ dz )ад < \dT )p dz' ( }
Требование dz > 0, использованное при выводе, теперь можно снять, так как
в неравенство (121.3) входят только производные (dT/dz)aд и dT/dz, значения
которых от знака dz не зависят. Для большинства тел коэффициент теплового расширения положителен, и вместо условия (121.3) можно написать более простое условие
dT (121.3а)
dz \dz /ад
Для тел с отрицательным коэффициентом теплового расширения знак неравенства надо заменить на противоположный. Ниже предполагается, что имеет место первый случай.
3. Таким образом, чем больше температурный градиент dT/dz, тем более затруднена конвекция, тем устойчивее механическое равновесие жидкости. Нижней границей dT/dz, при которой конвекция еще может отсутствовать, является «адиабатический температурный градиент» (dT/dz)sд. Для его вычисления замечаем, что при адиабатическом процессе удельная энтропия s не меняется. Рассматривая ее как функцию Т и Р, можем написать
!Ё\ —(—) (^Т) іdP
dz/ад \дТ)р \dz /ад ^\дР, Г dz
Воспользовавшись термодинамическими соотношениями (120.3) и уравнением гидростатики dP/dz = — рg = — g/v, получим
dT) = _ gT (дхЛ
dz/ад vcp\dTjp
(121.4)
4. Для воздуха, если его рассматривать как идеальный газ, объем v пропорционален температуре Т (при Р = const), а потому — Y' ®то дает
/dT' 8 по. «
482
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ГГЛ X
Считая воздух двухатомным газом, имеем по классической теории теплоемкостей 7 R
ср — ------, где |i—средний молекулярный вес воздуха (|i «= 28,8). Подстановка
численных значений дает
Если температура воздуха повышается с высотой, то атмосфера в механическом отношении устойчива. Но устойчивое равновесие возможно и тогда, когда с высотой температура воздуха понижается. Однако это понижение не может превосходить примерно одного градуса на каждые сто метров высоты.
5. Мы не учитывали влияние водяных паров, всегда имеющихся в атмосфере. Основной интерес представляют случаи, когда температура воздуха значительно ниже температуры кипения воды. При таких условиях количество водяных паров относительно мало. Влияние их на величину адиабатического температурного градиента было бы ничтожно, если бы при адиабатических процессах не происходила конденсация водяного пара. В действительности при адиабатическом поднятии воздух охлаждается, становится насыщенным, а затем пересыщенным. В результате водяные пары конденсируются на ионах, пыли и других центрах конденсации. При этом выделяется теплота парообразования. Это обстоятельство существенно меняет дело.
Рассмотрим какую-либо порцию воздуха, насыщенного водяными парами. Массу воздуха в ней обозначим тв, массу водяного пара тп, массу жидкой воды тж. При адиабатическом поднятии энтропия рассматриваемой системы меняться
где sB, sn, s,,, — удельные энтропии воздуха, водяного пара и жидкой воды соответственно. При этом полное количество воды остается постоянным: т„ + тж = = const, так что dmw = — dmn. Массу жидкой воды мы должны положить равной нулю, если в рассматриваемом состоянии вся вода существует в виде насыщенного водяного пара. Но, конечно, величина dtnM должна считаться отличной от нуля, так как при поднятии вверх водяные пары конденсируются в жидкие капли. Имея это в виду, из условия (121.6) получим
Разность удельных энтропий выразим через удельную теплоту испарения q = = Т (sn — в*). Масса пара шп в рассматриваемой системе зависит только от тем-
воздуха dsn с учетом, что воздух может считаться идеальным газом, получим такое же выражение, как и в случае сухого воздуха:
То же можно написать и для водяного пара. Однако надо учесть, что давление насыщенного пара зависит только от температуры, а потому
не будет:
mBsB +™nsn +/иж*ж = const,
(121.6)
me dsB -j- rnu dsn -J- (sn Sjk) dmu — 0.
пературы T, так что dmn=^?d7\, Для дифференциала удельной энтропии
