Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2nct
x=ct, Z — Г sin ——. (110.1)
Форма траектории найдется отсюда исключением времени t, что дает
• 2jw . „
г—г sm-~. (110.2)
Это — синусоида. Частицы, расположенные не на поверхности, а в глубине жидкости, также движутся по синусоидам. Но для них радиус г меньше — он убывает с глубиной.
сл-v Рис. 132.
2. На рис. 132 верхняя синусоида ABC представляет траекторию частицы на поверхности жидкости, а А'В'С' — бесконечно близкой к ней частицы в глубине жидкости. В рассматриваемой системе отсчета течение жидкости стационарно. Пространство между поверхностями ABC и А'В’С представляет собой трубку тока. Применим к ней уравнение Бернулли. Если v — скорость движения жидкости по окружности, то в точке А, где поступательное и вращательное движения вычитаются, полная скорость жидкости будет с — v, а в точке В, где они складываются, с + t>. Разность высот точек А к В равна h = 2г. Поэтому по уравнению Бернулли
РА +% (с - + 2PSr = ¦рВ+2~ <с+ ”^2'
§ 110] КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ 441
2р«> = 2pgr + (Рл — Рв). (110.3)
ОЧеВИД"° 2ЯГ 2лгс /]ln^
v = -j-=-r. (110.4)
Давления жидкости в точках Л и В по формуле Лапласа равны соответственно Рл = Р0+о/С, Рв=Р„-с/<Г, (110.5)
где К — абсолютное значение кривизны синусоиды в точке А или В. Поскольку в этих точках первая производная dz/dx равна нулю, для кривизны К получаем
из (110.2):
К—
d2z
dx?
4л2г
:и~'
(110.6)
Из (110.3) с учетом (110.4), (110.5) и (110.6) получаем формулу для скорости распространения капиллярно-гравитационных волн:
¦-Y-
S+SF-
Заметим, что в теории волн величина с называется фазовой скоростью, т. е. скоростью, с которой распространяется фаза волны. Эта скорость зависитот длины волны, т. е. капиллярно-гравитационные волны обладают дисперсией.
о П 8^ ^ ^ О 1Г °
3. Для длинных волн, когда ° - —т~, т. е. A 2л I/ —, поверхностное
Zn рА f pg
натяжение не играет роли, и формула (110.7) переходит в
УІ-
(110.8)
У
В этом случае волны называются гравитационными.
В другом предельном случае, когда Я, <С 2л, У о jpg, наоборот, несущественно действие силы тяжести. В этом случае волны называются капиллярными. Для их скорости распространения получаем
W- <110-9)
Наблюдение капиллярных волн дает удобный метод измерения поверхностного натяжения жидкостей. На поверхности жидкости возбуждаются круговые капиллярные волны колебаниями погруженного в нее штифта. Измеряется частота колебаний v = сД и длина волны К. Поверхностное натяжение рассчитывается по формуле j з,,.,
°-Esr- <110Л0>
4. В качестве дополнения к настоящему параграфу докажем те следствия уравнений гидродинамики, на которых основывались наши рассуждения. Во-первых, мы исходим из условия сохранения массы жидкости. Если жидкость несжимаемая, то это условие в нашем случае записывается в виде
ї + ї = ° (ПОЛІ)
(уравнение непрерывности). Во-вторых, мы пользуемся уравнением Эйлера для малых колебаний жидкости
р ~ = — grad Р. (110.12)
442
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
В этих уравнениях скорость v рассматривается как функция времени и координат точки пространства, к которой эта скорость относится. В точном уравнении Эйлера
в левой части (110.12) должно было бы стоять ускорение частицы dv/dt , а не част»
ная производная dv/dt . Эта частная производная показывает лишь, как меняется во времени скорость различных частиц, проходящих через одну и ту же точку пространства. Для вычисления же ускорения надо было бы сравнивать скорости одной и той же частицы в различные моменты времени (в которые частица занимает различные положения в пространстве). Однако для малых колебаний это различие можно не принимать во внимание и писать уравнение Эйлера в упрощенной форме (110.12). Переходя к координатной форме записи, получим из (110.12)
dvx _ дР диг _ 0Р P~dt ~~Ш' р ~дТ дг'
Дифференцируя первое уравнение по г, а второе по х, исключим Р:
!№-&)-»¦ о**
Допустим теперь, что в жидкости распространяется синусоидальная волна:
V.x = Vox (2) COS ((Ot—kx),
vz—v0z (г) sin (Ы—ftx+б),
где со, k, 6 — постоянные. Дифференцируя и подставляя полученные выражения в уравнение (110.11)., получим
kV(,x (z) sin (ot — kx)+sin (a>t — kx-f-6)=0.
Эго соотношение должно соблюдаться в любой момент времени, что возможно лишь при выполнении условий 6 = 0 и
toow(z)+^f = °-
(Другую возможность: 6 = л можно не рассматривать, так как она сводится к предыдущей изменением знака у v0z.) Аналогичным образом из уравнения
(110.13) получаем
ki'oz (2)+^37 = °-
Сравнивая эти два уравнения, находим
vox dVax = dvxie.
Отсюда і>ох = уог+const. Постоянная интегрирования здесь равна нулю, так как на дне сосуда, в который налита жидкость, скорость обращается в нуль. Итак, Vox = Voe = С (г) , а потому
vx=С (z) cos (сot—kx), уг = С (г) sin (соt — kx).
Интегрируя по времени, находим
С(2) • / * и ч С (2) , t их
х—%=-^-ism (m—kx), г—Zo=---------------cos (сог — kx).
^ » с(г)
Отсюда видно, что траекторией частицы является окружность радиуса г — —— .
(0
ГЛАВА X
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
§ 111. Фазы и фазовые превращения
