Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
т f & г РІГ
Если а < 1,066 Y ст/ pg, то минимальное значение D равно нулю. В этом случае предельное значение угла <р = 0 не достигается.
Пусть а > 1,066 Vс/pg. Тогда максимально возможная высота поднятия определится из формулы (109.6), если положить ф = 0:
(109Л1)
Разность атмосферного и гидростатического давлений на пластинку направлена вниз и равна рgh. Поэтому
F = q-\-pgha = q-{-2aVpgo- (109.12)
Рассмотрим теперь второй случай: а < 1,066 у о/pg. В этом случае
к = 2]/Г-~С05 (109-13)
где ф определяется из трансцендентного уравнения
/---/1 \ 1 /--------------------------- (1 + Sin ^г) (1^2 — 1)
- . = 2іА—/-І —sin ^4- if— In 7-------------------Ц--—. (Ю9.14)
2 V pgtyt 2) 2 V pg (,_sinf)(/2+l)
При нахождении F необходимо учесть, что в рассматриваемом случае пластинку тянет вниз дополнительная сила поверхностного натяжения 2a sin ф, С учетом этой силы
/•' = q -|- 2а Ypgo cos— + 2а sin ф. (109.15)
Если а \' а/ pg, то вторым членом в этой формуле можно пренебречь. Пренебрегая также в (109,14) членом а/2, находим ф = п/2. Таким образом, при
fo/pg
F = q + 2a,
• ‘-УН-
6. Бесконечно длинная прямоугольная пластинка ширины а положена на поверхность несмачивающей ее жидкости с поверхностным натяжением а. Плотность вещества пластинки р0 больше плотности жидкости р. Найти максимальную толщину пластинки /г, при которой она еще не утонет.
Решение. Примем за ось Y вертикальную прямую, касающуюся боковой поверхности жидкости, а за ось X — горизонтальную прямую, перпендикулярную
432
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
ІГЛ. IX
к длине пластинки и касающуюся поверхности жидкости в бесконечности (рис. 126). Уравнение боковой поверхности жидкости будет:
Т..(
t+cosf) (/2-1) in 4-----------------------------------L-, (109.16)
Рg (l-cos I) (/2+1)
= -2]/" sln 2 ' (109.17)
Pg
Минимальное расстояние D = MN при максимально возможной глубине погружения пластиики | у |макс определится из требования ф = я, которое дает
D==a--2 ^-—-(/г— 1п(/2 +l)) = a-l,066‘j/r (109.18)
Если а < 1,066 ) с/ pg, то D = 0, и предельное значение угла <р = л не достигается,
Рис. 126.
Рассмотрим сначала случай а > 1,066 У a! pg. В этом случае максимальная глубина погружения верхнего основания пластинки определится из (109.17),
если положить Ф = я. Она равна | у ] макс = 2 V'afpg- При этом на основание пластинки будет действовать направленная вверх разность давлений pg (h + + 1У !макс)> которая должна быть уравновешена весом пластинки. Максимальная толщина пластинки, при которой она еще не утонет, определится из условия 9g(h+ І У Інакс) = Pug, которое дает
Теперь рассмотрим случай о < 1,066 j о/ pg. В этом случае
І У імакс — 2 ~|/^" — sin -2
где ф определяется из уравнения
(109.20)
(109.21)
§ 109]
ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
433
Для максимальной толщины пластинки получаем:
. 2 Гао . го 2с sin го
/г=--- 1/ ----------(109.22)
Ро —Р У g 2 ga (ро — р) 1 '
Если а *<1/ —, то первым членом справа можно пренебречь. При этом, как
Т Р?
9?
видно из (109.21), ф = я/2, и мы находим:
H=gaJto-P) ИЛИ 2c=gah (109.23)
т. е. вес пластинки уравновешивается поверхностным натяжением и архимедовой подъемной силой.
7. Определить силу F, необходимую для отрыва круглой невесомой пластинки радиуса г = 8 см, положенной на поверхность воды. Поверхностное натяжение воды а = 73 дин • см-1. Пластинка смачивается водой.
Ответ. Пренебрегая кривизной окружности, ограничивающей пластинку,
получим: РъМУкЬ.* 1,1Н.
8. Найти высоту поднятия h жидкости у вертикальной бесконечной пластинки, смачиваемой жидкостью. Краевой угол равен ¦&.
Указание. См. решение задачи 4.
Г 2о
Ответ. Л=1/ —(1— sinO) . У Р?
9. Определить глубину h ртутной лужицы на плоском горизонтальном стекле. Поперечные размеры лужицы велики по сравнению с ее глубиной. Поверхностное натяжение ртути на границе с воздухом с=490 дин • см-1, краевой угол на стекле 0 = 140°. Плотность ртути р = 13,6 г • см-3.
Ответ. h=2 1/ — sin — = 3,6 мм.
У Pg 2
10. Стальная иголка, покрытая тонким слоем парафина или жира, может плавать на поверхности воды (рис. 127). Найти радиус иголки г, ширину зазора D = MN между боковыми поверхностями жидкости в наиболее узком месте, а также глубину погружения Н для различных значений угла О, образуемого
Рис. 127.
общей касательной к поверхности иголки и жидкости с горизонтальной плоскостью. Плотность стали р0 = 7,8 г • см-3, поверхностное натяжение воды а = = 73 дин-см"-1. Определить максимальный радиус иголки, при котором она еще не утонет. Найти максимально возможную глубину погружения и соответствующий ей радиус иголки. При расчете иголку заменить бесконечно длинным цилиндром.
434
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Решение. В точке А (рис. 128) поверхности жидкости и иголки тангенциально расходятся. На единицу длины иголки вверх действует сила поверхностного натяжения 1\ = 2а sin О. Кроме того, на нее действует сила гидростатического давления, также направленная вверх. Если бы часть АСВ иголки была заменена жидкостью, то сила гидростатического давления была бы равна
Рис. 128.